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Theorem elptr2 17606
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
elptr2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
elptr2.2  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
elptr2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
elptr2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
elptr2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y    ph, k    g, k, z, A, x, y    g, F, k, x, y, z    S, g, x    g, V, k, x, y, z    k, W, y    y, S
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, g)    B( x, y, z, g)    S( z, k)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr2
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5736 . . . 4  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )
2 nfcv 2572 . . . 4  |-  F/_ y
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
3 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k ) )
41, 2, 3cbvixp 7079 . . 3  |-  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
5 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
6 elptr2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
7 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  S )  =  ( k  e.  A  |->  S )
87fvmpt2 5812 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  A  /\  S  e.  ( F `  k ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
95, 6, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  S )
109ixpeq2dva 7077 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  X_ k  e.  A  S
)
114, 10syl5eq 2480 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  S
)
12 elptr2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
136ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k ) )
147fnmpt 5571 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k
)  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A
)
169, 6eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
1716ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
181nfel1 2582 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )
19 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k )
20 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
213, 20eleq12d 2504 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2218, 19, 21cbvral 2928 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. k  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
2317, 22sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )
24 elptr2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
25 eldifi 3469 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  ->  k  e.  A )
2625, 9sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
27 elptr2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
2826, 27eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `
 k ) )
2928ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) )
301nfeq1 2581 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )
31 nfv 1629 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k )
3220unieqd 4026 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
333, 32eqeq12d 2450 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) ) )
3430, 31, 33cbvral 2928 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. k  e.  ( A  \  W
) ( ( k  e.  A  |->  S ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
3529, 34sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) )
36 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
3736elptr 17605 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B )
3812, 15, 23, 24, 35, 37syl122anc 1193 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B
)
3911, 38eqeltrrd 2511 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317   U.cuni 4015    e. cmpt 4266    Fn wfn 5449   ` cfv 5454   X_cixp 7063   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  ptbasid  17607  ptbasin  17609  ptpjpre2  17612  ptopn  17615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ixp 7064
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