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Theorem elptr2 17325
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
elptr2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
elptr2.2  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
elptr2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
elptr2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
elptr2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y    ph, k    g, k, z, A, x, y    g, F, k, x, y, z    S, g, x    g, V, k, x, y, z    k, W, y    y, S
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, g)    B( x, y, z, g)    S( z, k)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr2
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4146 . . . . 5  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  S )
2 nfcv 2452 . . . . 5  |-  F/_ k
y
31, 2nffv 5570 . . . 4  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )
4 nfcv 2452 . . . 4  |-  F/_ y
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
5 fveq2 5563 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k ) )
63, 4, 5cbvixp 6876 . . 3  |-  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
7 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
8 elptr2.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
9 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  S )  =  ( k  e.  A  |->  S )
109fvmpt2 5646 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  /\  S  e.  ( F `  k ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
117, 8, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  S )
1211ralrimiva 2660 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
13 ixpeq2 6873 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  S  ->  X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  X_ k  e.  A  S )
1412, 13syl 15 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  X_ k  e.  A  S
)
156, 14syl5eq 2360 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  S
)
16 elptr2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
178ralrimiva 2660 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k ) )
189fnmpt 5407 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k
)  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A )
1917, 18syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A
)
2011, 8eqeltrd 2390 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2120ralrimiva 2660 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
223nfel1 2462 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )
23 nfv 1610 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k )
24 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
255, 24eleq12d 2384 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2622, 23, 25cbvral 2794 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. k  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
2721, 26sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )
28 elptr2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
29 eldifi 3332 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  ->  k  e.  A )
3029, 11sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
31 elptr2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
3230, 31eqtrd 2348 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `
 k ) )
3332ralrimiva 2660 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) )
343nfeq1 2461 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )
35 nfv 1610 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k )
3624unieqd 3875 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
375, 36eqeq12d 2330 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) ) )
3834, 35, 37cbvral 2794 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. k  e.  ( A  \  W
) ( ( k  e.  A  |->  S ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
3933, 38sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) )
40 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
4140elptr 17324 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B )
4216, 19, 27, 28, 39, 41syl122anc 1191 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B
)
4315, 42eqeltrrd 2391 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   {cab 2302   A.wral 2577   E.wrex 2578    \ cdif 3183   U.cuni 3864    e. cmpt 4114    Fn wfn 5287   ` cfv 5292   X_cixp 6860   Fincfn 6906
This theorem is referenced by:  ptbasid  17326  ptbasin  17328  ptpjpre2  17331  ptopn  17334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ixp 6861
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