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Theorem elptr2 17269
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
elptr2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
elptr2.2  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
elptr2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
elptr2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
elptr2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y    ph, k    g, k, z, A, x, y    g, F, k, x, y, z    S, g, x    g, V, k, x, y, z    k, W, y    y, S
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, g)    B( x, y, z, g)    S( z, k)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr2
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4109 . . . . 5  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  S )
2 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ k
y
31, 2nffv 5532 . . . 4  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )
4 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ y
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
5 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k ) )
63, 4, 5cbvixp 6833 . . 3  |-  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
7 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
8 elptr2.3 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
9 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  S )  =  ( k  e.  A  |->  S )
109fvmpt2 5608 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  A  /\  S  e.  ( F `  k ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
117, 8, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  S )
1211ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
13 ixpeq2 6830 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  S  ->  X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  X_ k  e.  A  S )
1412, 13syl 15 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  X_ k  e.  A  S
)
156, 14syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  S
)
16 elptr2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
178ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k ) )
189fnmpt 5370 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k
)  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A )
1917, 18syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A
)
2011, 8eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
2120ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
223nfel1 2429 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )
23 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k )
24 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
255, 24eleq12d 2351 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2622, 23, 25cbvral 2760 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. k  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
2721, 26sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )
28 elptr2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
29 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  ->  k  e.  A )
3029, 11sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
31 elptr2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
3230, 31eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `
 k ) )
3332ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) )
343nfeq1 2428 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )
35 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k )
3624unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
375, 36eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) ) )
3834, 35, 37cbvral 2760 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. k  e.  ( A  \  W
) ( ( k  e.  A  |->  S ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
3933, 38sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) )
40 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
4140elptr 17268 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B )
4216, 19, 27, 28, 39, 41syl122anc 1191 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B
)
4315, 42eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   X_cixp 6817   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  ptbasid  17270  ptbasin  17272  ptpjpre2  17275  ptopn  17278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ixp 6818
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