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Theorem elpwunsn 4760
Description: Membership in an extension of a power class. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
elpwunsn  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )

Proof of Theorem elpwunsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3332 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  <->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B ) )
2 elpwg 3808 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A  C_  B
) )
3 dfss3 3340 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B )
42, 3syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B ) )
54notbid 287 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( -.  A  e.  ~P B  <->  -. 
A. x  e.  A  x  e.  B )
)
65biimpa 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
7 rexnal 2718 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
86, 7sylibr 205 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )
9 elpwi 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  A  C_  ( B  u.  { C } ) )
10 ssel 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ( B  u.  { C } )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C }
) ) )
11 elun 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } ) )
12 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { C }  ->  x  =  C )
1312orim2i 506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  (
x  e.  B  \/  x  =  C )
)
1413ord 368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1511, 14sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  -> 
( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1615imim2i 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C )
) )
1716imp3a 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
189, 10, 173syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
19 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
2019biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  ->  C  e.  A )
)
2118, 20syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) )
2221exp3a 427 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  -> 
( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) ) )
2322com4r 83 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  ->  (
x  e.  A  -> 
( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) ) ) )
2423pm2.43b 49 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A )
) )
2524rexlimdv 2831 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) )
2625imp 420 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )  ->  C  e.  A )
278, 26syldan 458 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  C  e.  A )
281, 27sylbi 189 1  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    u. cun 3320    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816
This theorem is referenced by:  pwfilem  7404  incexclem  12621  ramub1lem1  13399  ptcmplem5  18092  onsucsuccmpi  26198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pw 3803  df-sn 3822
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