MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpwunsn Unicode version

Theorem elpwunsn 4724
Description: Membership in an extension of a power class. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
elpwunsn  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )

Proof of Theorem elpwunsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3298 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  <->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B ) )
2 elpwg 3774 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A  C_  B
) )
3 dfss3 3306 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B )
42, 3syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B ) )
54notbid 286 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( -.  A  e.  ~P B  <->  -. 
A. x  e.  A  x  e.  B )
)
65biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
7 rexnal 2685 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
86, 7sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )
9 elpwi 3775 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  A  C_  ( B  u.  { C } ) )
10 ssel 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ( B  u.  { C } )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C }
) ) )
11 elun 3456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } ) )
12 elsni 3806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { C }  ->  x  =  C )
1312orim2i 505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  (
x  e.  B  \/  x  =  C )
)
1413ord 367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1511, 14sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  -> 
( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1615imim2i 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C )
) )
1716imp3a 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
189, 10, 173syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
19 eleq1 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
2019biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  ->  C  e.  A )
)
2118, 20syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) )
2221exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  -> 
( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) ) )
2322com4r 82 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  ->  (
x  e.  A  -> 
( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) ) ) )
2423pm2.43b 48 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A )
) )
2524rexlimdv 2797 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) )
2625imp 419 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )  ->  C  e.  A )
278, 26syldan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  C  e.  A )
281, 27sylbi 188 1  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    \ cdif 3285    u. cun 3286    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   {csn 3782
This theorem is referenced by:  pwfilem  7367  incexclem  12579  ramub1lem1  13357  ptcmplem5  18048  onsucsuccmpi  26105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ral 2679  df-rex 2680  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pw 3769  df-sn 3788
  Copyright terms: Public domain W3C validator