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Theorem elpwunsn 4568
Description: Membership in an extension of a power class. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
elpwunsn  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )

Proof of Theorem elpwunsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3162 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  <->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B ) )
2 elpwg 3632 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A  C_  B
) )
3 dfss3 3170 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B )
42, 3syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B ) )
54notbid 285 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( -.  A  e.  ~P B  <->  -. 
A. x  e.  A  x  e.  B )
)
65biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
7 rexnal 2554 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
86, 7sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )
9 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  A  C_  ( B  u.  { C } ) )
10 ssel 3174 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ( B  u.  { C } )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C }
) ) )
11 elun 3316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } ) )
12 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { C }  ->  x  =  C )
1312orim2i 504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  (
x  e.  B  \/  x  =  C )
)
1413ord 366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1511, 14sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  -> 
( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1615imim2i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C )
) )
1716imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
189, 10, 173syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
19 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
2019biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  ->  C  e.  A )
)
2118, 20syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) )
2221exp3a 425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  -> 
( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) ) )
2322com4r 80 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  ->  (
x  e.  A  -> 
( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) ) ) )
2423pm2.43b 46 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A )
) )
2524rexlimdv 2666 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) )
2625imp 418 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )  ->  C  e.  A )
278, 26syldan 456 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  C  e.  A )
281, 27sylbi 187 1  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640
This theorem is referenced by:  pwfilem  7150  incexclem  12295  ramub1lem1  13073  ptcmplem5  17750  onsucsuccmpi  24882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-sn 3646
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