Theorem elq 6195

Description: Membership in the set of rationals.

Assertion

Ref	Expression
elq	|- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 6194	. . 3 |- QQ = {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)}
2	1	eleq2i 1530	. 2 |- (A e. QQ <-> A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)})
3		oprex 3968	. . . . . . . 8 |- (x / y) e. V
4		eleq1 1526	. . . . . . . 8 |- (A = (x / y) -> (A e. V <-> (x / y) e. V))
5	3, 4	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- (A = (x / y) -> A e. V)
6	5	a1i 8	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (A = (x / y) -> A e. V))
7	6	r19.23aiv 1735	. . . . 5 |- (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
8	7	a1i 8	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V))
9	8	r19.23aiv 1735	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
10		eqeq1 1473	. . . 4 |- (z = A -> (z = (x / y) <-> A = (x / y)))
11	10	2rexbidv 1673	. . 3 |- (z = A -> (E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y) <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y)))
12	9, 11	elab3 1894	. 2 |- (A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)} <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
13	2, 12	bitr 173	1 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  E.wrex 1638  Vcvv 1802  (class class class)co 3948   / cdiv 5266  NNcn 5268  ZZcz 5270  QQcq 5271

This theorem is referenced by:  znq 6196  qret 6197  zqt 6198  qaddclt 6207  qnegclt 6208  qmulclt 6209  qrecclt 6211  sqr2irr 6659  eirr 7335  qnnen 7446  ipasslem5 8425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-uni 2494  df-fv 3188  df-opr 3950  df-q 6194

Copyright terms: Public domain