MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elq Unicode version

Theorem elq 10334
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elq
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-q 10333 . . 3  |-  QQ  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
21eleq2i 2360 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) ) )
3 df-div 9440 . . . 4  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x ) )
4 riotaex 6324 . . . 4  |-  ( iota_ z  e.  CC ( y  x.  z )  =  x )  e.  _V
53, 4fnmpt2i 6209 . . 3  |-  /  Fn  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
6 zsscn 10048 . . . 4  |-  ZZ  C_  CC
7 nncn 9770 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
8 nnne0 9794 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
9 eldifsn 3762 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
107, 8, 9sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1110ssriv 3197 . . . 4  |-  NN  C_  ( CC  \  { 0 } )
12 xpss12 4808 . . . 4  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  NN  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ZZ  X.  NN )  C_  ( CC 
X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
136, 11, 12mp2an 653 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
14 ovelimab 6014 . . 3  |-  ( (  /  Fn  ( CC 
X.  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  -> 
( A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) ) )
155, 13, 14mp2an 653 . 2  |-  ( A  e.  (  /  " ( ZZ  X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
162, 15bitri 240 1  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653    X. cxp 4703   "cima 4708    Fn wfn 5266  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   QQcq 10332
This theorem is referenced by:  qmulz  10335  znq  10336  qre  10337  zq  10338  qexALT  10347  qaddcl  10348  qnegcl  10349  qmulcl  10350  qreccl  10352  eirr  12499  qnnen  12508  sqr2irr  12543  qredeu  12802  pceu  12915  pcqmul  12922  pcqcl  12925  pcneg  12942  pcz  12949  pcadd  12953  qsssubdrg  16447  ostthlem1  20792  ipasslem5  21429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-z 10041  df-q 10333
  Copyright terms: Public domain W3C validator