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Theorem elqaalem2 20238
Description: Lemma for elqaa 20240. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
elqaa.7  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Distinct variable groups:    k, n, x, y, A    B, k, n    ph, k    k, K, n, x, y    k, N, n, x, y    R, k
Allowed substitution hints:    ph( x, y, n)    B( x, y)    P( x, y, k, n)    R( x, y, n)    F( x, y, k, n)

Proof of Theorem elqaalem2
Dummy variables  m  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11084 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  K  e.  NN0 )
2 elqaa.6 . . . . 5  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
32fveq2i 5732 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 (  seq  0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) ) )
4 nnmulcl 10024 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( i  x.  j
)  e.  NN )
54adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  x.  j )  e.  NN )
6 elfznn0 11084 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  i  e.  NN0 )
7 elqaa.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8 elqaa.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
9 elqaa.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
10 elqaa.4 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (coeff `  F )
11 elqaa.5 . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
127, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 20237 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  i )  e.  NN  /\  ( ( B `  i )  x.  ( N `  i ) )  e.  ZZ ) )
1312simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
1413adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
156, 14sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
16 eldifi 3470 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0 p } )  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
17 dgrcl 20153 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
188, 16, 173syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
19 nn0uz 10521 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2018, 19syl6eleq 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2120adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  (deg `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 nnz 10304 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  ZZ )
2322ad2antrl 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  ZZ )
247, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 20237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
2524simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2625adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2723, 26zmodcld 11268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
29 nnz 10304 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3029ad2antll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  ZZ )
3130, 26zmodcld 11268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
3231nn0zd 10374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
3326nnrpd 10648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
34 nnre 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR )
3534ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  RR )
36 modabs2 11276 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( i  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
3735, 33, 36syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
i  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( i  mod  ( N `
 K ) ) )
38 nnre 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
3938ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  RR )
40 modabs2 11276 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( j  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
4139, 33, 40syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
j  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( j  mod  ( N `
 K ) ) )
4228, 23, 32, 30, 33, 37, 41modmul12d 11281 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
43 oveq1 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
44 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K
) ) )
45 ovex 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( i  mod  ( N `  K ) ) )
4746ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i )  =  ( i  mod  ( N `  K
) ) )
48 oveq1 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
49 ovex 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5048, 44, 49fvmpt 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  j
)  =  ( j  mod  ( N `  K ) ) )
5150ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j )  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )
5247, 51oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
53 oveq12 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
5453oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
55 elqaa.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
56 ovex 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5754, 55, 56ovmpt2a 6205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  e.  _V  /\  ( j  mod  ( N `  K )
)  e.  _V )  ->  ( ( i  mod  ( N `  K
) ) P ( j  mod  ( N `
 K ) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
5845, 49, 57mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K )
) )  mod  ( N `  K )
)
5952, 58syl6eq 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
60 oveq1 6089 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( i  x.  j )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
61 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6260, 44, 61fvmpt 5807 . . . . . . 7  |-  ( ( i  x.  j )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  (
i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
635, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K
) ) )
6442, 59, 633eqtr4rd 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i ) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 j ) ) )
65 oveq1 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N `  i )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
66 ovex 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6765, 44, 66fvmpt 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  i )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
6814, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
69 fveq2 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( N `  k )  =  ( N `  i ) )
7069oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
71 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) )
7270, 71, 66fvmpt 5807 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
7372adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
7468, 73eqtr4d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i ) )
756, 74sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 ( N `  i ) )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) `  i ) )
765, 15, 21, 64, 75seqhomo 11371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `  (deg `  F ) ) )  =  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
773, 76syl5eq 2481 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
781, 77sylan2 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  (  seq  0 ( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
79 0z 10294 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
8079a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
814adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN )
8219, 80, 13, 81seqf 11345 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN )
8382, 18ffvelrnd 5872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )  e.  NN )
842, 83syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
8584adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  NN )
86 oveq1 6089 . . . . 5  |-  ( k  =  R  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
87 ovex 6107 . . . . 5  |-  ( R  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
8886, 44, 87fvmpt 5807 . . . 4  |-  ( R  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  R
)  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
8985, 88syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
901, 89sylan2 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
91 vex 2960 . . . . 5  |-  i  e. 
_V
92 vex 2960 . . . . 5  |-  j  e. 
_V
93 oveq12 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( i  x.  j ) )
9493oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9594, 55, 61ovmpt2a 6205 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  j  e.  _V )  ->  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9691, 92, 95mp2an 655 . . . 4  |-  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)
97 nn0mulcl 10257 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN0 )
9897nn0zd 10374 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  ZZ )
991, 25sylan2 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
100 zmodcl 11267 . . . . 5  |-  ( ( ( i  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( N `  K )  e.  NN )  -> 
( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)  e.  NN0 )
10198, 99, 100syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
( i  x.  j
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
10296, 101syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
i P j )  e.  NN0 )
103 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
104103oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  n ) )
105104eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ ) )
106105rabbidv 2949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
107106supeq1d 7452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
108107cbvmptv 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
10911, 108eqtri 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
1107, 8, 9, 10, 109, 2elqaalem1 20237 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  k )  e.  NN  /\  ( ( B `  k )  x.  ( N `  k ) )  e.  ZZ ) )
111110simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
112111adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
113112nnzd 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  ZZ )
11425adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
115113, 114zmodcld 11268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
116115, 71fmptd 5894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
1171, 116sylan2 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
118 ffvelrn 5869 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) : NN0 --> NN0 
/\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
119117, 6, 118syl2an 465 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
120 c0ex 9086 . . . . 5  |-  0  e.  _V
121 oveq12 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 0  x.  i ) )
122121oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( 0  x.  i
)  mod  ( N `  K ) ) )
123 ovex 6107 . . . . . 6  |-  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
124122, 55, 123ovmpt2a 6205 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  i  e.  _V )  ->  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) ) )
125120, 91, 124mp2an 655 . . . 4  |-  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K )
)
126 nn0cn 10232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
127126mul02d 9265 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 0  x.  i )  =  0 )
128127oveq1d 6097 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
12999nnrpd 10648 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
130 0mod 11273 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  e.  RR+  ->  ( 0  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
131129, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( 0  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
132128, 131sylan9eqr 2491 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
133125, 132syl5eq 2481 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 P i )  =  0 )
134 oveq12 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( i  x.  0 ) )
135134oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `
 K ) ) )
136 ovex 6107 . . . . . 6  |-  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
137135, 55, 136ovmpt2a 6205 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  0  e.  _V )  ->  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) ) )
13891, 120, 137mp2an 655 . . . 4  |-  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K )
)
139126mul01d 9266 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  x.  0 )  =  0 )
140139oveq1d 6097 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
141140, 131sylan9eqr 2491 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
142138, 141syl5eq 2481 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i P 0 )  =  0 )
143 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )
14418adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
1451adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
146 fveq2 5729 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( N `  k )  =  ( N `  K ) )
147146oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
148 ovex 6107 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
149147, 71, 148fvmpt 5807 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
150145, 149syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
15199nncnd 10017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  CC )
15299nnne0d 10045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  =/=  0
)
153151, 152dividd 9789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  =  1 )
154 1z 10312 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
155153, 154syl6eqel 2525 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ )
15699nnred 10016 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR )
157 mod0 11256 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  K
)  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
)  =  0  <->  (
( N `  K
)  /  ( N `
 K ) )  e.  ZZ ) )
158156, 129, 157syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  =  0  <->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ ) )
159155, 158mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
160150, 159eqtrd 2469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  0 )
161102, 119, 133, 142, 143, 144, 160seqz 11372 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) )  =  0 )
16278, 90, 1613eqtr3d 2477 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2710   _Vcvv 2957    \ cdif 3318   {csn 3815    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   supcsup 7446   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    x. cmul 8996    < clt 9121    / cdiv 9678   NNcn 10001   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   QQcq 10575   RR+crp 10613   ...cfz 11044    mod cmo 11251    seq cseq 11324   0 pc0p 19562  Polycply 20104  coeffccoe 20106  degcdgr 20107
This theorem is referenced by:  elqaalem3  20239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-0p 19563  df-ply 20108  df-coe 20110  df-dgr 20111
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