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Theorem elqaalem2 19716
Description: Lemma for elqaa 19718. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
elqaa.7  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Distinct variable groups:    k, n, x, y, A    B, k, n    ph, k    k, K, n, x, y    k, N, n, x, y    R, k
Allowed substitution hints:    ph( x, y, n)    B( x, y)    P( x, y, k, n)    R( x, y, n)    F( x, y, k, n)

Proof of Theorem elqaalem2
Dummy variables  m  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn0 10838 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  K  e.  NN0 )
2 elqaa.6 . . . . 5  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
32fveq2i 5544 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 (  seq  0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) ) )
4 nnmulcl 9785 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( i  x.  j
)  e.  NN )
54adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  x.  j )  e.  NN )
6 elfznn0 10838 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  i  e.  NN0 )
7 elqaa.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8 elqaa.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
9 elqaa.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
10 elqaa.4 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (coeff `  F )
11 elqaa.5 . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
127, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 19715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  i )  e.  NN  /\  ( ( B `  i )  x.  ( N `  i ) )  e.  ZZ ) )
1312simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
1413adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
156, 14sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
16 eldifi 3311 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0 p } )  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
17 dgrcl 19631 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
188, 16, 173syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
19 nn0uz 10278 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2018, 19syl6eleq 2386 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  (deg `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 nnz 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  ZZ )
2322ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  ZZ )
247, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 19715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
2524simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2625adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2723, 26zmodcld 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
29 nnz 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3029ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  ZZ )
3130, 26zmodcld 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
3231nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
3326nnrpd 10405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
34 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR )
3534ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  RR )
36 modabs2 11014 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( i  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
3735, 33, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
i  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( i  mod  ( N `
 K ) ) )
38 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
3938ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  RR )
40 modabs2 11014 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( j  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
4139, 33, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
j  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( j  mod  ( N `
 K ) ) )
4228, 23, 32, 30, 33, 37, 41modmul12d 11019 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
43 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
44 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K
) ) )
45 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( i  mod  ( N `  K ) ) )
4746ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i )  =  ( i  mod  ( N `  K
) ) )
48 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
49 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5048, 44, 49fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  j
)  =  ( j  mod  ( N `  K ) ) )
5150ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j )  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )
5247, 51oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
53 oveq12 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
5453oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
55 elqaa.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
56 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5754, 55, 56ovmpt2a 5994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  e.  _V  /\  ( j  mod  ( N `  K )
)  e.  _V )  ->  ( ( i  mod  ( N `  K
) ) P ( j  mod  ( N `
 K ) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
5845, 49, 57mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K )
) )  mod  ( N `  K )
)
5952, 58syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
60 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( i  x.  j )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
61 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6260, 44, 61fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( ( i  x.  j )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  (
i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
635, 62syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K
) ) )
6442, 59, 633eqtr4rd 2339 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i ) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 j ) ) )
65 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N `  i )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
66 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6765, 44, 66fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  i )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
6814, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
69 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( N `  k )  =  ( N `  i ) )
7069oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
71 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) )
7270, 71, 66fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
7372adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
7468, 73eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i ) )
756, 74sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 ( N `  i ) )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) `  i ) )
765, 15, 21, 64, 75seqhomo 11109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `  (deg `  F ) ) )  =  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
773, 76syl5eq 2340 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
781, 77sylan2 460 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  (  seq  0 ( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
79 0z 10051 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
8079a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
814adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN )
8219, 80, 13, 81seqf 11083 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN )
83 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN  /\  (deg `  F )  e.  NN0 )  ->  (  seq  0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) )  e.  NN )
8482, 18, 83syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )  e.  NN )
852, 84syl5eqel 2380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
8685adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  NN )
87 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( k  =  R  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
88 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( R  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
8987, 44, 88fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( R  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  R
)  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
9086, 89syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
911, 90sylan2 460 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
92 vex 2804 . . . . 5  |-  i  e. 
_V
93 vex 2804 . . . . 5  |-  j  e. 
_V
94 oveq12 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( i  x.  j ) )
9594oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9695, 55, 61ovmpt2a 5994 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  j  e.  _V )  ->  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9792, 93, 96mp2an 653 . . . 4  |-  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)
98 nn0mulcl 10016 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN0 )
9998nn0zd 10131 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  ZZ )
1001, 25sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
101 zmodcl 11005 . . . . 5  |-  ( ( ( i  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( N `  K )  e.  NN )  -> 
( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)  e.  NN0 )
10299, 100, 101syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
( i  x.  j
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
10397, 102syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
i P j )  e.  NN0 )
104 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
105104oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  n ) )
106105eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ ) )
107106rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
108107supeq1d 7215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
109108cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
11011, 109eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
1117, 8, 9, 10, 110, 2elqaalem1 19715 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  k )  e.  NN  /\  ( ( B `  k )  x.  ( N `  k ) )  e.  ZZ ) )
112111simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
113112adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
114113nnzd 10132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  ZZ )
11525adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
116114, 115zmodcld 11006 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
117116, 71fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
1181, 117sylan2 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
119 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) : NN0 --> NN0 
/\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
120118, 6, 119syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
121 c0ex 8848 . . . . 5  |-  0  e.  _V
122 oveq12 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 0  x.  i ) )
123122oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( 0  x.  i
)  mod  ( N `  K ) ) )
124 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
125123, 55, 124ovmpt2a 5994 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  i  e.  _V )  ->  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) ) )
126121, 92, 125mp2an 653 . . . 4  |-  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K )
)
127 nn0cn 9991 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
128127mul02d 9026 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 0  x.  i )  =  0 )
129128oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
130100nnrpd 10405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
131 0mod 11011 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  e.  RR+  ->  ( 0  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
132130, 131syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( 0  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
133129, 132sylan9eqr 2350 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
134126, 133syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 P i )  =  0 )
135 oveq12 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( i  x.  0 ) )
136135oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `
 K ) ) )
137 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
138136, 55, 137ovmpt2a 5994 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  0  e.  _V )  ->  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) ) )
13992, 121, 138mp2an 653 . . . 4  |-  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K )
)
140127mul01d 9027 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  x.  0 )  =  0 )
141140oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
142141, 132sylan9eqr 2350 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
143139, 142syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i P 0 )  =  0 )
144 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )
14518adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
1461adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
147 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( N `  k )  =  ( N `  K ) )
148147oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
149 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
150148, 71, 149fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
151146, 150syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
152100nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  CC )
153100nnne0d 9806 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  =/=  0
)
154152, 153dividd 9550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  =  1 )
155 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
156154, 155syl6eqel 2384 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ )
157100nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR )
158 mod0 10994 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  K
)  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
)  =  0  <->  (
( N `  K
)  /  ( N `
 K ) )  e.  ZZ ) )
159157, 130, 158syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  =  0  <->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ ) )
160156, 159mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
161151, 160eqtrd 2328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  0 )
162103, 120, 134, 143, 144, 145, 161seqz 11110 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) )  =  0 )
16378, 91, 1623eqtr3d 2336 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   QQcq 10332   RR+crp 10370   ...cfz 10798    mod cmo 10989    seq cseq 11062   0 pc0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585
This theorem is referenced by:  elqaalem3  19717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
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