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Theorem elqaalem2 19700
Description: Lemma for elqaa 19702. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
elqaa.7  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Distinct variable groups:    k, n, x, y, A    B, k, n    ph, k    k, K, n, x, y    k, N, n, x, y    R, k
Allowed substitution hints:    ph( x, y, n)    B( x, y)    P( x, y, k, n)    R( x, y, n)    F( x, y, k, n)

Proof of Theorem elqaalem2
Dummy variables  m  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn0 10822 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  K  e.  NN0 )
2 elqaa.6 . . . . 5  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
32fveq2i 5528 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 (  seq  0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) ) )
4 nnmulcl 9769 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( i  x.  j
)  e.  NN )
54adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  x.  j )  e.  NN )
6 elfznn0 10822 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  i  e.  NN0 )
7 elqaa.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8 elqaa.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
9 elqaa.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
10 elqaa.4 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (coeff `  F )
11 elqaa.5 . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
127, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 19699 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  i )  e.  NN  /\  ( ( B `  i )  x.  ( N `  i ) )  e.  ZZ ) )
1312simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
1413adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
156, 14sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
16 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0 p } )  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
17 dgrcl 19615 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
188, 16, 173syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
19 nn0uz 10262 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2018, 19syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2120adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  (deg `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  ZZ )
2322ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  ZZ )
247, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 19699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
2524simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2625adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2723, 26zmodcld 10990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
29 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3029ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  ZZ )
3130, 26zmodcld 10990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
3231nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
3326nnrpd 10389 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
34 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR )
3534ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  RR )
36 modabs2 10998 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( i  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
3735, 33, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
i  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( i  mod  ( N `
 K ) ) )
38 nnre 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
3938ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  RR )
40 modabs2 10998 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( j  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
4139, 33, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
j  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( j  mod  ( N `
 K ) ) )
4228, 23, 32, 30, 33, 37, 41modmul12d 11003 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
43 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
44 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K
) ) )
45 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( i  mod  ( N `  K ) ) )
4746ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i )  =  ( i  mod  ( N `  K
) ) )
48 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
49 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5048, 44, 49fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  j
)  =  ( j  mod  ( N `  K ) ) )
5150ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j )  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )
5247, 51oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
53 oveq12 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
5453oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
55 elqaa.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
56 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5754, 55, 56ovmpt2a 5978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  e.  _V  /\  ( j  mod  ( N `  K )
)  e.  _V )  ->  ( ( i  mod  ( N `  K
) ) P ( j  mod  ( N `
 K ) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
5845, 49, 57mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K )
) )  mod  ( N `  K )
)
5952, 58syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
60 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( i  x.  j )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
61 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6260, 44, 61fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( ( i  x.  j )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  (
i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
635, 62syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K
) ) )
6442, 59, 633eqtr4rd 2326 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i ) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 j ) ) )
65 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N `  i )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
66 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6765, 44, 66fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  i )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
6814, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
69 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( N `  k )  =  ( N `  i ) )
7069oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
71 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) )
7270, 71, 66fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
7372adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
7468, 73eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i ) )
756, 74sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 ( N `  i ) )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) `  i ) )
765, 15, 21, 64, 75seqhomo 11093 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `  (deg `  F ) ) )  =  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
773, 76syl5eq 2327 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
781, 77sylan2 460 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  (  seq  0 ( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
79 0z 10035 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
8079a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
814adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN )
8219, 80, 13, 81seqf 11067 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN )
83 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN  /\  (deg `  F )  e.  NN0 )  ->  (  seq  0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) )  e.  NN )
8482, 18, 83syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )  e.  NN )
852, 84syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
8685adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  NN )
87 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( k  =  R  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
88 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( R  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
8987, 44, 88fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( R  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  R
)  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
9086, 89syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
911, 90sylan2 460 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
92 vex 2791 . . . . 5  |-  i  e. 
_V
93 vex 2791 . . . . 5  |-  j  e. 
_V
94 oveq12 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( i  x.  j ) )
9594oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9695, 55, 61ovmpt2a 5978 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  j  e.  _V )  ->  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9792, 93, 96mp2an 653 . . . 4  |-  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)
98 nn0mulcl 10000 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN0 )
9998nn0zd 10115 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  ZZ )
1001, 25sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
101 zmodcl 10989 . . . . 5  |-  ( ( ( i  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( N `  K )  e.  NN )  -> 
( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)  e.  NN0 )
10299, 100, 101syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
( i  x.  j
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
10397, 102syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
i P j )  e.  NN0 )
104 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
105104oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  n ) )
106105eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ ) )
107106rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
108107supeq1d 7199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
109108cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
11011, 109eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
1117, 8, 9, 10, 110, 2elqaalem1 19699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  k )  e.  NN  /\  ( ( B `  k )  x.  ( N `  k ) )  e.  ZZ ) )
112111simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
113112adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
114113nnzd 10116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  ZZ )
11525adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
116114, 115zmodcld 10990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
117116, 71fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
1181, 117sylan2 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
119 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) : NN0 --> NN0 
/\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
120118, 6, 119syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
121 c0ex 8832 . . . . 5  |-  0  e.  _V
122 oveq12 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 0  x.  i ) )
123122oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( 0  x.  i
)  mod  ( N `  K ) ) )
124 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
125123, 55, 124ovmpt2a 5978 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  i  e.  _V )  ->  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) ) )
126121, 92, 125mp2an 653 . . . 4  |-  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K )
)
127 nn0cn 9975 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
128127mul02d 9010 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 0  x.  i )  =  0 )
129128oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
130100nnrpd 10389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
131 0mod 10995 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  e.  RR+  ->  ( 0  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
132130, 131syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( 0  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
133129, 132sylan9eqr 2337 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
134126, 133syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 P i )  =  0 )
135 oveq12 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( i  x.  0 ) )
136135oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `
 K ) ) )
137 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
138136, 55, 137ovmpt2a 5978 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  0  e.  _V )  ->  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) ) )
13992, 121, 138mp2an 653 . . . 4  |-  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K )
)
140127mul01d 9011 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  x.  0 )  =  0 )
141140oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
142141, 132sylan9eqr 2337 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
143139, 142syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i P 0 )  =  0 )
144 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )
14518adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
1461adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
147 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( N `  k )  =  ( N `  K ) )
148147oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
149 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
150148, 71, 149fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
151146, 150syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
152100nncnd 9762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  CC )
153100nnne0d 9790 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  =/=  0
)
154152, 153dividd 9534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  =  1 )
155 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
156154, 155syl6eqel 2371 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ )
157100nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR )
158 mod0 10978 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  K
)  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
)  =  0  <->  (
( N `  K
)  /  ( N `
 K ) )  e.  ZZ ) )
159157, 130, 158syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  =  0  <->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ ) )
160156, 159mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
161151, 160eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  0 )
162103, 120, 134, 143, 144, 145, 161seqz 11094 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (  seq  0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) )  =  0 )
16378, 91, 1623eqtr3d 2323 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   RR+crp 10354   ...cfz 10782    mod cmo 10973    seq cseq 11046   0 pc0p 19024  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569
This theorem is referenced by:  elqaalem3  19701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
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