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Theorem elqaalem3 20230
Description: Lemma for elqaa 20231. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem3  |-  ( ph  ->  A  e.  AA )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    ph, k    k, N, n    R, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    R( n)    F( k, n)

Proof of Theorem elqaalem3
Dummy variables  f  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqaa.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 cnex 9063 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
4 elqaa.6 . . . . . . . . 9  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
5 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `  (deg `  F ) )  e. 
_V
64, 5eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  R  e. 
_V
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  R  e. 
_V )
8 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `
 z )  e. 
_V )
10 fconstmpt 4913 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { R }
)  =  ( z  e.  CC  |->  R )
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { R } )  =  ( z  e.  CC  |->  R ) )
12 elqaa.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
1312eldifad 3324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
14 plyf 20109 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  F : CC --> CC )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
1615feqmptd 5771 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( F `
 z ) ) )
173, 7, 9, 11, 16offval2 6314 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =  ( z  e.  CC  |->  ( R  x.  ( F `  z ) ) ) )
18 fzfid 11304 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... (deg `  F
) )  e.  Fin )
19 nn0uz 10512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
20 0z 10285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
22 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  NN
23 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
2423oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  n ) )
2524eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ ) )
2625rabbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  m  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
2726supeq1d 7443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
28 elqaa.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
29 ltso 9148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <  Or  RR
30 cnvso 5403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
3129, 30mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `'  <  Or  RR
3231supex 7460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
3327, 28, 32fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( N `
 m )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
35 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3622, 35sseqtri 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
37 zq 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
3820, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  QQ
39 elqaa.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  B  =  (coeff `  F )
4039coef2 20142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  0  e.  QQ )  ->  B : NN0 --> QQ )
4113, 38, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> QQ )
4241ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( B `  m )  e.  QQ )
43 qmulz 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B `  m )  e.  QQ  ->  E. n  e.  NN  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ )
45 rabn0 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN  ( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ )
4644, 45sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  =/=  (/) )
47 infmssuzcl 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } )
4836, 46, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
4934, 48eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  e.  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
5022, 49sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  e.  NN )
51 nnmulcl 10015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  x.  k
)  e.  NN )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( m  x.  k
)  e.  NN )
5319, 21, 50, 52seqf 11336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN )
54 dgrcl 20144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
5513, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
5653, 55ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )  e.  NN )
574, 56syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
5857nncnd 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
5958adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  R  e.  CC )
60 elfznn0 11075 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  m  e.  NN0 )
6139coef3 20143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  B : NN0 --> CC )
6213, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
6362adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
6463ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( B `  m )  e.  CC )
65 expcl 11391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( z ^ m
)  e.  CC )
6665adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
z ^ m )  e.  CC )
6764, 66mulcld 9100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  e.  CC )
6860, 67sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( B `
 m )  x.  ( z ^ m
) )  e.  CC )
6918, 59, 68fsummulc2 12559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
70 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
7139, 70coeid2 20150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `  z )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) ) )
7213, 71sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `
 z )  = 
sum_ m  e.  (
0 ... (deg `  F
) ) ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )
7372oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( F `  z ) )  =  ( R  x.  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F )
) ( ( B `
 m )  x.  ( z ^ m
) ) ) )
7459adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  R  e.  CC )
7574, 64, 66mulassd 9103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( R  x.  ( B `  m )
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  (
z ^ m ) ) ) )
7660, 75sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( R  x.  ( B `  m ) )  x.  ( z ^ m
) )  =  ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
7776sumeq2dv 12489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( R  x.  ( B `  m )
)  x.  ( z ^ m ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
7869, 73, 773eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( F `  z ) )  = 
sum_ m  e.  (
0 ... (deg `  F
) ) ( ( R  x.  ( B `
 m ) )  x.  ( z ^
m ) ) )
7978mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( R  x.  ( F `  z )
) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
m  e.  ( 0 ... (deg `  F
) ) ( ( R  x.  ( B `
 m ) )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
8017, 79eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( R  x.  ( B `  m )
)  x.  ( z ^ m ) ) ) )
81 zsscn 10282 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
8281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ZZ  C_  CC )
8358adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  R  e.  CC )
8450nncnd 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  e.  CC )
8550nnne0d 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  =/=  0
)
8683, 84, 85divcan2d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  m )  x.  ( R  /  ( N `  m )
) )  =  R )
8786oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  m )  x.  ( ( N `  m )  x.  ( R  /  ( N `  m ) ) ) )  =  ( ( B `  m )  x.  R ) )
8862ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( B `  m )  e.  CC )
8983, 84, 85divcld 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( R  /  ( N `  m ) )  e.  CC )
9088, 84, 89mulassd 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( B `  m
)  x.  ( N `
 m ) )  x.  ( R  / 
( N `  m
) ) )  =  ( ( B `  m )  x.  (
( N `  m
)  x.  ( R  /  ( N `  m ) ) ) ) )
9183, 88mulcomd 9101 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( R  x.  ( B `  m
) )  =  ( ( B `  m
)  x.  R ) )
9287, 90, 913eqtr4rd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( R  x.  ( B `  m
) )  =  ( ( ( B `  m )  x.  ( N `  m )
)  x.  ( R  /  ( N `  m ) ) ) )
9360, 92sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  x.  ( B `  m ) )  =  ( ( ( B `  m
)  x.  ( N `
 m ) )  x.  ( R  / 
( N `  m
) ) ) )
94 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( N `  m )  ->  (
( B `  m
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  ( N `  m
) ) )
9594eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( N `  m )  ->  (
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  ( N `  m
) )  e.  ZZ ) )
9695elrab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  m )  e.  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  <->  ( ( N `  m )  e.  NN  /\  ( ( B `  m )  x.  ( N `  m ) )  e.  ZZ ) )
9796simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  m )  e.  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  ->  (
( B `  m
)  x.  ( N `
 m ) )  e.  ZZ )
9849, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  m )  x.  ( N `  m
) )  e.  ZZ )
9960, 98sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( B `
 m )  x.  ( N `  m
) )  e.  ZZ )
100 elqaa.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
101 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  m ) ) )  =  ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  m
) ) )
1021, 12, 100, 39, 28, 4, 101elqaalem2 20229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  m ) )  =  0 )
10357adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  R  e.  NN )
10460, 50sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  m )  e.  NN )
105 nnre 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  NN  ->  R  e.  RR )
106 nnrp 10613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  m )  e.  NN  ->  ( N `  m )  e.  RR+ )
107 mod0 11247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( N `  m )  e.  RR+ )  ->  (
( R  mod  ( N `  m )
)  =  0  <->  ( R  /  ( N `  m ) )  e.  ZZ ) )
108105, 106, 107syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  NN  /\  ( N `  m )  e.  NN )  -> 
( ( R  mod  ( N `  m ) )  =  0  <->  ( R  /  ( N `  m ) )  e.  ZZ ) )
109103, 104, 108syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( R  mod  ( N `  m ) )  =  0  <->  ( R  / 
( N `  m
) )  e.  ZZ ) )
110102, 109mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  / 
( N `  m
) )  e.  ZZ )
11199, 110zmulcld 10373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( ( B `  m )  x.  ( N `  m ) )  x.  ( R  /  ( N `  m )
) )  e.  ZZ )
11293, 111eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  x.  ( B `  m ) )  e.  ZZ )
11382, 55, 112elplyd 20113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
m  e.  ( 0 ... (deg `  F
) ) ( ( R  x.  ( B `
 m ) )  x.  ( z ^
m ) ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
11480, 113eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  (Poly `  ZZ ) )
115 eldifsn 3919 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0 p } )  <->  ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  F  =/=  0 p ) )
11612, 115sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  F  =/=  0 p ) )
117116simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =/=  0 p )
118 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =  0 p  ->  (
( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  o F  /  ( CC  X.  { R }
) )  =  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) ) )
11915ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
12057nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  =/=  0 )
121120adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  R  =/=  0 )
122119, 59, 121divcan3d 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( R  x.  ( F `
 z ) )  /  R )  =  ( F `  z
) )
123122mpteq2dva 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( R  x.  ( F `  z ) )  /  R ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( F `
 z ) ) )
124 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  x.  ( F `  z ) )  e. 
_V
125124a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( F `  z ) )  e. 
_V )
1263, 125, 7, 17, 11offval2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( R  x.  ( F `  z ) )  /  R ) ) )
127123, 126, 163eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  F )
12858, 120div0d 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  /  R
)  =  0 )
129128mpteq2dv 4288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( 0  /  R
) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
130 0cn 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
131130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
132 df-0p 19554 . . . . . . . . . . . 12  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
133 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
134132, 133eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
135134a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
1363, 131, 7, 135, 11offval2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 0  /  R ) ) )
137129, 136, 1353eqtr4d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  0 p )
138127, 137eqeq12d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  o F  /  ( CC 
X.  { R }
) )  =  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  <-> 
F  =  0 p ) )
139118, 138syl5ib 211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  =  0 p  ->  F  = 
0 p ) )
140139necon3d 2636 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  =/=  0 p  ->  ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  =/=  0 p ) )
141117, 140mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =/=  0 p )
142 eldifsn 3919 . . . 4  |-  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } )  <->  ( (
( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  (Poly `  ZZ )  /\  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =/=  0 p ) )
143114, 141, 142sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) )
1446fconst 5621 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { R }
) : CC --> { R }
145 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  X.  { R } ) : CC --> { R }  ->  ( CC  X.  { R }
)  Fn  CC )
146144, 145mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { R } )  Fn  CC )
147 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  Fn  CC )
14815, 147syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  CC )
149 inidm 3542 . . . . . 6  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
1506fvconst2 5939 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { R } ) `  A
)  =  R )
151150adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { R } ) `  A
)  =  R )
152100adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  CC )  ->  ( F `
 A )  =  0 )
153146, 148, 3, 3, 149, 151, 152ofval 6306 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F ) `  A )  =  ( R  x.  0 ) )
1541, 153mpdan 650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F ) `  A
)  =  ( R  x.  0 ) )
15558mul01d 9257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  0 )  =  0 )
156154, 155eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F ) `  A
)  =  0 )
157 fveq1 5719 . . . . 5  |-  ( f  =  ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  ->  (
f `  A )  =  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F ) `  A ) )
158157eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( f  =  ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  ->  (
( f `  A
)  =  0  <->  (
( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F ) `
 A )  =  0 ) )
159158rspcev 3044 . . 3  |-  ( ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } )  /\  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F ) `  A
)  =  0 )  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  A )  =  0 )
160143, 156, 159syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  A )  =  0 )
161 elaa 20225 . 2  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
1621, 160, 161sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  A  e.  AA )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806    e. cmpt 4258    Or wor 4494    X. cxp 4868   `'ccnv 4869    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075    o Fcof 6295   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    < clt 9112    / cdiv 9669   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   QQcq 10566   RR+crp 10604   ...cfz 11035    mod cmo 11242    seq cseq 11315   ^cexp 11374   sum_csu 12471   0 pc0p 19553  Polycply 20095  coeffccoe 20097  degcdgr 20098   AAcaa 20223
This theorem is referenced by:  elqaa  20231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099  df-coe 20101  df-dgr 20102  df-aa 20224
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