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Theorem elqaalem3 19701
Description: Lemma for elqaa 19702. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem3  |-  ( ph  ->  A  e.  AA )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    ph, k    k, N, n    R, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    R( n)    F( k, n)

Proof of Theorem elqaalem3
Dummy variables  f  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqaa.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 cnex 8818 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
32a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
4 elqaa.6 . . . . . . . . 9  |-  R  =  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
5 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `  (deg `  F ) )  e. 
_V
64, 5eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  R  e. 
_V
76a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  R  e. 
_V )
8 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
98a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `
 z )  e. 
_V )
10 fconstmpt 4732 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { R }
)  =  ( z  e.  CC  |->  R )
1110a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { R } )  =  ( z  e.  CC  |->  R ) )
12 elqaa.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0 p } ) )
13 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0 p } )  <->  ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  F  =/=  0 p ) )
1412, 13sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  F  =/=  0 p ) )
1514simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
16 plyf 19580 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  F : CC --> CC )
1715, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
1817feqmptd 5575 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( F `
 z ) ) )
193, 7, 9, 11, 18offval2 6095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =  ( z  e.  CC  |->  ( R  x.  ( F `  z ) ) ) )
20 fzfid 11035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( 0 ... (deg `  F
) )  e.  Fin )
21 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
22 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
2322a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
24 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  NN
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
2625oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  n ) )
2726eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ ) )
2827rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  m  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
2928supeq1d 7199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
30 elqaa.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
31 ltso 8903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <  Or  RR
32 cnvso 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
3331, 32mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `'  <  Or  RR
3433supex 7214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
3529, 30, 34fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( N `
 m )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
37 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3824, 37sseqtri 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
39 zq 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
4022, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  QQ
41 elqaa.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  B  =  (coeff `  F )
4241coef2 19613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  0  e.  QQ )  ->  B : NN0 --> QQ )
4315, 40, 42sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> QQ )
44 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B : NN0 --> QQ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( B `  m
)  e.  QQ )
4543, 44sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( B `  m )  e.  QQ )
46 qmulz 10319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B `  m )  e.  QQ  ->  E. n  e.  NN  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ )
48 rabn0 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN  ( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ )
4947, 48sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  =/=  (/) )
50 infmssuzcl 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } )
5138, 49, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
5236, 51eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  e.  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
5324, 52sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  e.  NN )
54 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( m  x.  k
)  e.  NN )
5554adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( m  x.  k
)  e.  NN )
5621, 23, 53, 55seqf 11067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN )
57 dgrcl 19615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
5815, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
59 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN  /\  (deg `  F )  e.  NN0 )  ->  (  seq  0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) )  e.  NN )
6056, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )  e.  NN )
614, 60syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
6261nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
6362adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  R  e.  CC )
64 elfznn0 10822 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  m  e.  NN0 )
6541coef3 19614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  B : NN0 --> CC )
6615, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> CC )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  B : NN0
--> CC )
68 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B : NN0 --> CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( B `  m
)  e.  CC )
6967, 68sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( B `  m )  e.  CC )
70 expcl 11121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( z ^ m
)  e.  CC )
7170adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
z ^ m )  e.  CC )
7269, 71mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) )  e.  CC )
7364, 72sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( B `
 m )  x.  ( z ^ m
) )  e.  CC )
7420, 63, 73fsummulc2 12246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
75 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
7641, 75coeid2 19621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `  z )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( B `  m
)  x.  ( z ^ m ) ) )
7715, 76sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `
 z )  = 
sum_ m  e.  (
0 ... (deg `  F
) ) ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) )
7877oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( F `  z ) )  =  ( R  x.  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F )
) ( ( B `
 m )  x.  ( z ^ m
) ) ) )
7963adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  R  e.  CC )
8079, 69, 71mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  NN0 )  ->  (
( R  x.  ( B `  m )
)  x.  ( z ^ m ) )  =  ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  (
z ^ m ) ) ) )
8164, 80sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( R  x.  ( B `  m ) )  x.  ( z ^ m
) )  =  ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
8281sumeq2dv 12176 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( R  x.  ( B `  m )
)  x.  ( z ^ m ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( R  x.  ( ( B `  m )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
8374, 78, 823eqtr4d 2325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( F `  z ) )  = 
sum_ m  e.  (
0 ... (deg `  F
) ) ( ( R  x.  ( B `
 m ) )  x.  ( z ^
m ) ) )
8483mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( R  x.  ( F `  z )
) )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_
m  e.  ( 0 ... (deg `  F
) ) ( ( R  x.  ( B `
 m ) )  x.  ( z ^
m ) ) ) )
8519, 84eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) ( ( R  x.  ( B `  m )
)  x.  ( z ^ m ) ) ) )
86 zsscn 10032 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  CC
8786a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ZZ  C_  CC )
8862adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  R  e.  CC )
8953nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  e.  CC )
9053nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( N `  m )  =/=  0
)
9188, 89, 90divcan2d 9538 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  m )  x.  ( R  /  ( N `  m )
) )  =  R )
9291oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  m )  x.  ( ( N `  m )  x.  ( R  /  ( N `  m ) ) ) )  =  ( ( B `  m )  x.  R ) )
9366, 68sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( B `  m )  e.  CC )
9488, 89, 90divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( R  /  ( N `  m ) )  e.  CC )
9593, 89, 94mulassd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
( B `  m
)  x.  ( N `
 m ) )  x.  ( R  / 
( N `  m
) ) )  =  ( ( B `  m )  x.  (
( N `  m
)  x.  ( R  /  ( N `  m ) ) ) ) )
9688, 93mulcomd 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( R  x.  ( B `  m
) )  =  ( ( B `  m
)  x.  R ) )
9792, 95, 963eqtr4rd 2326 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( R  x.  ( B `  m
) )  =  ( ( ( B `  m )  x.  ( N `  m )
)  x.  ( R  /  ( N `  m ) ) ) )
9864, 97sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  x.  ( B `  m ) )  =  ( ( ( B `  m
)  x.  ( N `
 m ) )  x.  ( R  / 
( N `  m
) ) ) )
99 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( N `  m )  ->  (
( B `  m
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  ( N `  m
) ) )
10099eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( N `  m )  ->  (
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  ( N `  m
) )  e.  ZZ ) )
101100elrab 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  m )  e.  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  <->  ( ( N `  m )  e.  NN  /\  ( ( B `  m )  x.  ( N `  m ) )  e.  ZZ ) )
102101simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  m )  e.  { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ }  ->  (
( B `  m
)  x.  ( N `
 m ) )  e.  ZZ )
10352, 102syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( B `  m )  x.  ( N `  m
) )  e.  ZZ )
10464, 103sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( B `
 m )  x.  ( N `  m
) )  e.  ZZ )
105 elqaa.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
106 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  m ) ) )  =  ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  m
) ) )
1071, 12, 105, 41, 30, 4, 106elqaalem2 19700 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  m ) )  =  0 )
10861adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  R  e.  NN )
10964, 53sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  m )  e.  NN )
110 nnre 9753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  NN  ->  R  e.  RR )
111 nnrp 10363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  m )  e.  NN  ->  ( N `  m )  e.  RR+ )
112 mod0 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( N `  m )  e.  RR+ )  ->  (
( R  mod  ( N `  m )
)  =  0  <->  ( R  /  ( N `  m ) )  e.  ZZ ) )
113110, 111, 112syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  NN  /\  ( N `  m )  e.  NN )  -> 
( ( R  mod  ( N `  m ) )  =  0  <->  ( R  /  ( N `  m ) )  e.  ZZ ) )
114108, 109, 113syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( R  mod  ( N `  m ) )  =  0  <->  ( R  / 
( N `  m
) )  e.  ZZ ) )
115107, 114mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  / 
( N `  m
) )  e.  ZZ )
116104, 115zmulcld 10123 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( ( B `  m )  x.  ( N `  m ) )  x.  ( R  /  ( N `  m )
) )  e.  ZZ )
11798, 116eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  x.  ( B `  m ) )  e.  ZZ )
11887, 58, 117elplyd 19584 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  sum_
m  e.  ( 0 ... (deg `  F
) ) ( ( R  x.  ( B `
 m ) )  x.  ( z ^
m ) ) )  e.  (Poly `  ZZ ) )
11985, 118eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  (Poly `  ZZ ) )
12014simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =/=  0 p )
121 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =  0 p  ->  (
( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  o F  /  ( CC  X.  { R }
) )  =  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) ) )
122 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `  z
)  e.  CC )
12317, 122sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( F `
 z )  e.  CC )
12461nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  =/=  0 )
125124adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  R  =/=  0 )
126123, 63, 125divcan3d 9541 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( R  x.  ( F `
 z ) )  /  R )  =  ( F `  z
) )
127126mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( ( R  x.  ( F `  z ) )  /  R ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( F `
 z ) ) )
128 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  x.  ( F `  z ) )  e. 
_V
129128a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( R  x.  ( F `  z ) )  e. 
_V )
1303, 129, 7, 19, 11offval2 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( R  x.  ( F `  z ) )  /  R ) ) )
131127, 130, 183eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  F )
13262, 124div0d 9535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  /  R
)  =  0 )
133132mpteq2dv 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  CC  |->  ( 0  /  R
) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
134 0cn 8831 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
135134a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
136 df-0p 19025 . . . . . . . . . . . 12  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
137 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
138136, 137eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  0 )
139138a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0 p  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
1403, 135, 7, 139, 11offval2 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 0  /  R ) ) )
141133, 140, 1393eqtr4d 2325 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  =  0 p )
142131, 141eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  o F  /  ( CC 
X.  { R }
) )  =  ( 0 p  o F  /  ( CC  X.  { R } ) )  <-> 
F  =  0 p ) )
143121, 142syl5ib 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  =  0 p  ->  F  = 
0 p ) )
144143necon3d 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  =/=  0 p  ->  ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  =/=  0 p ) )
145120, 144mpd 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =/=  0 p )
146 eldifsn 3749 . . . 4  |-  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } )  <->  ( (
( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  (Poly `  ZZ )  /\  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  =/=  0 p ) )
147119, 145, 146sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) )
1486fconst 5427 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { R }
) : CC --> { R }
149 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  X.  { R } ) : CC --> { R }  ->  ( CC  X.  { R }
)  Fn  CC )
150148, 149mp1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  { R } )  Fn  CC )
151 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( F : CC --> CC  ->  F  Fn  CC )
15217, 151syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  CC )
153 inidm 3378 . . . . . 6  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
1546fvconst2 5729 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { R } ) `  A
)  =  R )
155154adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { R } ) `  A
)  =  R )
156105adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  CC )  ->  ( F `
 A )  =  0 )
157150, 152, 3, 3, 153, 155, 156ofval 6087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F ) `  A )  =  ( R  x.  0 ) )
1581, 157mpdan 649 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F ) `  A
)  =  ( R  x.  0 ) )
15962mul01d 9011 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  x.  0 )  =  0 )
160158, 159eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F ) `  A
)  =  0 )
161 fveq1 5524 . . . . 5  |-  ( f  =  ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  ->  (
f `  A )  =  ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F ) `  A ) )
162161eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( f  =  ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F )  ->  (
( f `  A
)  =  0  <->  (
( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F ) `
 A )  =  0 ) )
163162rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( ( ( CC  X.  { R } )  o F  x.  F )  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } )  /\  ( ( ( CC 
X.  { R }
)  o F  x.  F ) `  A
)  =  0 )  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  A )  =  0 )
164147, 160, 163syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p }
) ( f `  A )  =  0 )
165 elaa 19696 . 2  |-  ( A  e.  AA  <->  ( A  e.  CC  /\  E. f  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0 p } ) ( f `
 A )  =  0 ) )
1661, 164, 165sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  A  e.  AA )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077    Or wor 4313    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    o Fcof 6076   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   RR+crp 10354   ...cfz 10782    mod cmo 10973    seq cseq 11046   ^cexp 11104   sum_csu 12158   0 pc0p 19024  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569   AAcaa 19694
This theorem is referenced by:  elqaa  19702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-aa 19695
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