MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop3 Unicode version

Theorem elqtop3 17410
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elqtop3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )

Proof of Theorem elqtop3
StepHypRef Expression
1 toponuni 16681 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 eqimss 3243 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  ->  X  C_  U. J )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. J
)
43adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  C_ 
U. J )
5 eqid 2296 . . 3  |-  U. J  =  U. J
65elqtop 17404 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y  /\  X  C_  U. J )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
74, 6mpd3an3 1278 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   "cima 4708   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   qTop cqtop 13422  TopOnctopon 16648
This theorem is referenced by:  qtopid  17412  idqtop  17413  tgqtop  17419  qtopcld  17420  qtopcn  17421  qtopss  17422  qtoprest  17424  qtopomap  17425  kqopn  17441  qtopf1  17523  divstgpopn  17818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-qtop 13426  df-topon 16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator