MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop3 Structured version   Unicode version

Theorem elqtop3 17735
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elqtop3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )

Proof of Theorem elqtop3
StepHypRef Expression
1 toponuni 16992 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 eqimss 3400 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  ->  X  C_  U. J )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. J
)
43adantr 452 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  C_ 
U. J )
5 eqid 2436 . . 3  |-  U. J  =  U. J
65elqtop 17729 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y  /\  X  C_  U. J )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
74, 6mpd3an3 1280 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   U.cuni 4015   `'ccnv 4877   "cima 4881   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   qTop cqtop 13729  TopOnctopon 16959
This theorem is referenced by:  qtopid  17737  idqtop  17738  tgqtop  17744  qtopcld  17745  qtopcn  17746  qtopss  17747  qtoprest  17749  qtopomap  17750  kqopn  17766  qtopf1  17848  divstgpopn  18149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-qtop 13733  df-topon 16966
  Copyright terms: Public domain W3C validator