MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop3 Unicode version

Theorem elqtop3 17394
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elqtop3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )

Proof of Theorem elqtop3
StepHypRef Expression
1 toponuni 16665 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 eqimss 3230 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  ->  X  C_  U. J )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. J
)
43adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  C_ 
U. J )
5 eqid 2283 . . 3  |-  U. J  =  U. J
65elqtop 17388 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y  /\  X  C_  U. J )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
74, 6mpd3an3 1278 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   "cima 4692   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   qTop cqtop 13406  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  qtopid  17396  idqtop  17397  tgqtop  17403  qtopcld  17404  qtopcn  17405  qtopss  17406  qtoprest  17408  qtopomap  17409  kqopn  17425  qtopf1  17507  divstgpopn  17802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-qtop 13410  df-topon 16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator