Theorem elreal 5250

Description: Membership in class of real numbers.

Assertion

Ref	Expression
elreal	|- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem elreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 5244	. . 3 |- RR = (R. X. {0R})
2	1	eleq2i 1538	. 2 |- (A e. RR <-> A e. (R. X. {0R}))
3		elxp 3202	. 2 |- (A e. (R. X. {0R}) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})))
4		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> ((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.))
5		anass 439	. . . . . . . 8 |- (((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. R. /\ (y e. {0R} /\ A = <.x, y>.)))
6		elsn 2421	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. {0R} <-> y = 0R)
7		eqcom 1477	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. <-> <.x, y>. = A)
8	6, 7	anbi12i 482	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. {0R} /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ <.x, y>. = A))
9		opeq2 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = 0R -> <.x, y>. = <.x, 0R>.)
10	9	eqeq1d 1483	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 0R -> (<.x, y>. = A <-> <.x, 0R>. = A))
11	10	pm5.32i 645	. . . . . . . . . 10 |- ((y = 0R /\ <.x, y>. = A) <-> (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A))
12	8, 11	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- ((y e. {0R} /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A))
13	12	anbi2i 480	. . . . . . . 8 |- ((x e. R. /\ (y e. {0R} /\ A = <.x, y>.)) <-> (x e. R. /\ (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A)))
14		an12 484	. . . . . . . 8 |- ((x e. R. /\ (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A)) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
15	5, 13, 14	3bitr 177	. . . . . . 7 |- (((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
16	4, 15	bitr 173	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
17	16	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> E.y(y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
18		19.41v 1305	. . . . 5 |- (E.y(y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)) <-> (E.y y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
19	17, 18	bitr 173	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (E.y y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
20		0r 5189	. . . . . 6 |- 0R e. R.
21	20	elisseti 1818	. . . . 5 |- 0R e. V
22	21	isseti 1815	. . . 4 |- E.y y = 0R
23	19, 22	mpbiran 728	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
24	23	exbii 1051	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
25	2, 3, 24	3bitr 177	1 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {csn 2409  <.cop 2411   X. cxp 3168  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  RRcr 5233

This theorem is referenced by:  suprelem 5259  supre 5260  ltsor 5261  axaddrcl 5272  axmulrcl 5274  axrnegex 5283  axrrecex 5284  pre-axltadd 5289  pre-axmulgt0 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-enr 5166  df-nr 5167  df-0r 5171  df-r 5244

Copyright terms: Public domain