MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elres Structured version   Unicode version

Theorem elres 5183
Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elres  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elres
StepHypRef Expression
1 relres 5176 . . . . 5  |-  Rel  ( B  |`  C )
2 elrel 4980 . . . . 5  |-  ( ( Rel  ( B  |`  C )  /\  A  e.  ( B  |`  C ) )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
31, 2mpan 653 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
4 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C ) ) )
54biimpd 200 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( B  |`  C ) ) )
6 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
76opelres 5153 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  B  /\  x  e.  C ) )
87biimpi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  /\  x  e.  C
) )
98ancomd 440 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
105, 9syl6com 34 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1110ancld 538 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
12 an12 774 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  C  /\  <.
x ,  y >.  e.  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1311, 12syl6ib 219 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
14132eximdv 1635 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y
( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
153, 14mpd 15 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
16 rexcom4 2977 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
17 df-rex 2713 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1817exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. y E. x  e.  C  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
19 excom 1757 . . . 4  |-  ( E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2016, 18, 193bitri 264 . . 3  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2115, 20sylibr 205 . 2  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
227simplbi2com 1384 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  ->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )
) )
234biimprd 216 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2422, 23syl9 69 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  B  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) ) )
2524imp3a 422 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2625exlimdv 1647 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2726rexlimiv 2826 . 2  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) )
2821, 27impbii 182 1  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   <.cop 3819    |` cres 4882   Rel wrel 4885
This theorem is referenced by:  elsnres  5184  eldm3  25387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-opab 4269  df-xp 4886  df-rel 4887  df-res 4892
  Copyright terms: Public domain W3C validator