MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elres Unicode version

Theorem elres 5006
Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elres  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elres
StepHypRef Expression
1 relres 4999 . . . . 5  |-  Rel  ( B  |`  C )
2 elrel 4805 . . . . 5  |-  ( ( Rel  ( B  |`  C )  /\  A  e.  ( B  |`  C ) )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
31, 2mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
4 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C ) ) )
54biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( B  |`  C ) ) )
6 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
76opelres 4976 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  B  /\  x  e.  C ) )
87biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  /\  x  e.  C
) )
98ancomd 438 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
105, 9syl6com 31 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1110ancld 536 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
12 an12 772 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  C  /\  <.
x ,  y >.  e.  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1311, 12syl6ib 217 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
14132eximdv 1614 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y
( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
153, 14mpd 14 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
16 rexcom4 2820 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
17 df-rex 2562 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1817exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. y E. x  e.  C  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
19 excom 1798 . . . 4  |-  ( E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2016, 18, 193bitri 262 . . 3  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2115, 20sylibr 203 . 2  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
227simplbi2com 1364 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  ->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )
) )
234biimprd 214 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2422, 23syl9 66 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  B  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) ) )
2524imp3a 420 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2625exlimdv 1626 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2726rexlimiv 2674 . 2  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) )
2821, 27impbii 180 1  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   <.cop 3656    |` cres 4707   Rel wrel 4710
This theorem is referenced by:  elsnres  5007  eldm3  24190
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-res 4717
  Copyright terms: Public domain W3C validator