MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Unicode version

Theorem elrest 13655
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J
Allowed substitution hints:    V( x)    W( x)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 13654 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( Jt  B )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) )
21eleq2d 2503 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) ) )
3 eqid 2436 . . 3  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
B ) )
4 vex 2959 . . . 4  |-  x  e. 
_V
54inex1 4344 . . 3  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
63, 5elrnmpti 5121 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) )
72, 6syl6bb 253 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706    i^i cin 3319    e. cmpt 4266   ran crn 4879  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648
This theorem is referenced by:  elrestr  13656  restsspw  13659  firest  13660  restbas  17222  restsn  17234  restcld  17236  restopnb  17239  ssrest  17240  neitr  17244  restntr  17246  cnrest2  17350  cnpresti  17352  cnprest  17353  cnprest2  17354  lmss  17362  cmpsublem  17462  cmpsub  17463  consuba  17483  1stcrest  17516  subislly  17544  cldllycmp  17558  txrest  17663  trfbas2  17875  trfbas  17876  trfil2  17919  flimrest  18015  fclsrest  18056  cnextcn  18098  tsmssubm  18172  trust  18259  restutop  18267  restutopopn  18268  trcfilu  18324  metrest  18554  xrtgioo  18837  xrge0tsms  18865  icoopnst  18964  iocopnst  18965  subopnmbl  19496  mbfimaopn2  19549  xrlimcnp  20807  xrge0tsmsd  24223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-rest 13650
  Copyright terms: Public domain W3C validator