MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrestr Unicode version

Theorem elrestr 13382
Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrestr  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )

Proof of Theorem elrestr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . . 4  |-  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S
)
2 ineq1 3397 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )
32eqeq2d 2327 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  i^i  S
)  =  ( x  i^i  S )  <->  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) ) )
43rspcev 2918 . . . 4  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
51, 4mpan2 652 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
6 elrest 13381 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( A  i^i  S )  e.  ( Jt  S )  <->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) ) )
75, 6syl5ibr 212 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( A  e.  J  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) ) )
873impia 1148 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578    i^i cin 3185  (class class class)co 5900   ↾t crest 13374
This theorem is referenced by:  firest  13386  restbas  16945  tgrest  16946  resttopon  16948  restcld  16959  restfpw  16966  restntr  16968  ordtrest  16988  cnrest  17069  lmss  17082  consubclo  17206  restnlly  17264  islly2  17266  cldllycmp  17277  lly1stc  17278  kgenss  17294  xkococnlem  17409  xkoinjcn  17437  qtoprest  17464  trfbas2  17590  trfil1  17633  trfil2  17634  fgtr  17637  trfg  17638  uzrest  17644  trufil  17657  flimrest  17730  xrsmopn  18370  zdis  18374  xrge0tsms  18391  cnheibor  18506  cfilres  18775  lhop2  19415  psercn  19855  xrlimcnp  20316  xrge0tsmsd  23360  pnfneige0  23405  lmxrge0  23406  trust  23441  restutop  23448  cvmscld  24088  cvmopnlem  24093  cvmliftmolem1  24096  subspopn  25615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-rest 13376
  Copyright terms: Public domain W3C validator