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Theorem elrfi 26275
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfi  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, B    v, C    v, V

Proof of Theorem elrfi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2881 . . 3  |-  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C ) )  ->  A  e.  _V )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  ->  A  e.  _V ) )
3 inex1g 4259 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| v )  e. 
_V )
4 eleq1 2426 . . . . 5  |-  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  ( A  e.  _V  <->  ( B  i^i  |^| v )  e. 
_V ) )
53, 4syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  A  e.  _V )
)
65rexlimdvw 2755 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  A  e.  _V )
)
76adantr 451 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
)  ->  A  e.  _V ) )
8 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  A  e. 
_V )
9 snex 4318 . . . . . 6  |-  { B }  e.  _V
10 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  C  C_  ~P B )
11 pwexg 4296 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  ~P B  e.  _V )
1211ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ~P B  e.  _V )
13 ssexg 4262 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  ~P B  /\  ~P B  e.  _V )  ->  C  e.  _V )
1410, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  C  e. 
_V )
15 unexg 4624 . . . . . 6  |-  ( ( { B }  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( { B }  u.  C )  e.  _V )
169, 14, 15sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( { B }  u.  C
)  e.  _V )
17 elfi 7314 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( { B }  u.  C )  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
188, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C ) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
19 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  C_  ~P ( { B }  u.  C
)
20 uncom 3407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { B }  u.  C
)  =  ( C  u.  { B }
)
2120pweqi 3718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P ( { B }  u.  C
)  =  ~P ( C  u.  { B } )
2219, 21sseqtri 3296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  C_  ~P ( C  u.  { B }
)
2322sseli 3262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  e.  ~P ( C  u.  { B } ) )
249elpwun 4670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~P ( C  u.  { B }
)  <->  ( w  \  { B } )  e. 
~P C )
2523, 24sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  ( w  \  { B } )  e.  ~P C )
2625ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( w  \  { B } )  e.  ~P C )
27 inss2 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  C_  Fin
2827sseli 3262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  e.  Fin )
29 diffi 7236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  Fin  ->  (
w  \  { B } )  e.  Fin )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  ( w  \  { B } )  e.  Fin )
3130ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( w  \  { B } )  e.  Fin )
32 elin 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  \  { B } )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) 
<->  ( ( w  \  { B } )  e. 
~P C  /\  (
w  \  { B } )  e.  Fin ) )
3326, 31, 32sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( w  \  { B } )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
34 incom 3449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
35 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  |^| w )
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  e.  _V )
3735, 36eqeltrrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| w  e.  _V )
38 intex 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =/=  (/)  <->  |^| w  e.  _V )
3937, 38sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  w  =/=  (/) )
40 intssuni 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =/=  (/)  ->  |^| w  C_  U. w )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| w  C_  U. w
)
4219sseli 3262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  e.  ~P ( { B }  u.  C
) )
43 elpwi 3722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ~P ( { B }  u.  C
)  ->  w  C_  ( { B }  u.  C
) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  C_  ( { B }  u.  C
) )
4544ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  w  C_  ( { B }  u.  C )
)
46 pwidg 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  ~P B )
4746snssd 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  V  ->  { B }  C_  ~P B )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  { B }  C_ 
~P B )
49 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  C  C_  ~P B )
5048, 49unssd 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( { B }  u.  C )  C_ 
~P B )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( { B }  u.  C )  C_  ~P B )
5245, 51sstrd 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  w  C_  ~P B )
53 sspwuni 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w 
C_  ~P B  <->  U. w  C_  B )
5452, 53sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  U. w  C_  B )
5541, 54sstrd 3275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| w  C_  B )
5635, 55eqsstrd 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  C_  B )
57 df-ss 3252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
5856, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  A )
5934, 58syl5req 2411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  ( B  i^i  A ) )
60 ineq2 3452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  |^| w  -> 
( B  i^i  A
)  =  ( B  i^i  |^| w ) )
6160ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( B  i^i  A
)  =  ( B  i^i  |^| w ) )
6259, 61eqtrd 2398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  ( B  i^i  |^| w ) )
63 intun 3996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| ( { B }  u.  w
)  =  ( |^| { B }  i^i  |^| w )
64 intsng 3999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  V  ->  |^| { B }  =  B )
6564ineq1d 3457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  V  ->  ( |^| { B }  i^i  |^| w )  =  ( B  i^i  |^| w
) )
6663, 65syl5req 2411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| w )  = 
|^| ( { B }  u.  w )
)
6766ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( B  i^i  |^| w )  =  |^| ( { B }  u.  w ) )
6862, 67eqtrd 2398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  |^| ( { B }  u.  w
) )
69 undif2 3619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  =  ( { B }  u.  w )
7069inteqi 3968 . . . . . . . . . 10  |-  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  = 
|^| ( { B }  u.  w )
7168, 70syl6eqr 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) ) )
72 intun 3996 . . . . . . . . . . 11  |-  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  =  ( |^| { B }  i^i  |^| ( w  \  { B } ) )
7364ineq1d 3457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  V  ->  ( |^| { B }  i^i  |^| ( w  \  { B } ) )  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
7472, 73syl5eq 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
7574ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| ( { B }  u.  ( w  \  { B } ) )  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
7671, 75eqtrd 2398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
77 inteq 3967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( w  \  { B } )  ->  |^| v  =  |^| ( w  \  { B } ) )
7877ineq2d 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( w  \  { B } )  -> 
( B  i^i  |^| v )  =  ( B  i^i  |^| (
w  \  { B } ) ) )
7978eqeq2d 2377 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( w  \  { B } )  -> 
( A  =  ( B  i^i  |^| v
)  <->  A  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) ) )
8079rspcev 2969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  \  { B } )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  ( B  i^i  |^| (
w  \  { B } ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) )
8133, 76, 80syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) )
8281expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )
)  ->  ( A  =  |^| w  ->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) )
8382rexlimdva 2752 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w  ->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) ) )
84 ssun1 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  { B }  C_  ( { B }  u.  C )
8584a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  { B }  C_  ( { B }  u.  C )
)
86 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  C_ 
~P C
8786sseli 3262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  v  e.  ~P C )
88 elpwi 3722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P C  -> 
v  C_  C )
89 ssun4 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  C  ->  v  C_  ( { B }  u.  C ) )
9087, 88, 893syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  v  C_  ( { B }  u.  C ) )
9190adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  v  C_  ( { B }  u.  C ) )
9285, 91unssd 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  C_  ( { B }  u.  C
) )
93 vex 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
_V
949, 93unex 4621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  u.  v
)  e.  _V
9594elpw 3720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { B }  u.  v )  e.  ~P ( { B }  u.  C )  <->  ( { B }  u.  v
)  C_  ( { B }  u.  C
) )
9692, 95sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  e.  ~P ( { B }  u.  C
) )
97 snfi 7084 . . . . . . . . . 10  |-  { B }  e.  Fin
98 inss2 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  C_ 
Fin
9998sseli 3262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
10099adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  v  e.  Fin )
101 unfi 7271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { B }  e.  Fin  /\  v  e.  Fin )  ->  ( { B }  u.  v )  e.  Fin )
10297, 100, 101sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  e.  Fin )
103 elin 3446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { B }  u.  v )  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  <->  ( ( { B }  u.  v
)  e.  ~P ( { B }  u.  C
)  /\  ( { B }  u.  v
)  e.  Fin )
)
10496, 102, 103sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) )
10564eqcomd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  V  ->  B  =  |^| { B }
)
106105ineq1d 3457 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| v )  =  ( |^| { B }  i^i  |^| v ) )
107 intun 3996 . . . . . . . . . 10  |-  |^| ( { B }  u.  v
)  =  ( |^| { B }  i^i  |^| v )
108106, 107syl6eqr 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| ( { B }  u.  v )
)
109108ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| ( { B }  u.  v )
)
110 inteq 3967 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( { B }  u.  v )  ->  |^| w  =  |^| ( { B }  u.  v ) )
111110eqeq2d 2377 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( { B }  u.  v )  ->  ( ( B  i^i  |^| v )  =  |^| w 
<->  ( B  i^i  |^| v )  =  |^| ( { B }  u.  v ) ) )
112111rspcev 2969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { B }  u.  v )  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| ( { B }  u.  v )
)  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )
( B  i^i  |^| v )  =  |^| w )
113104, 109, 112syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )
( B  i^i  |^| v )  =  |^| w )
114 eqeq1 2372 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  ( A  =  |^| w  <->  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| w ) )
115114rexbidv 2649 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  ( E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w 
<->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| w ) )
116113, 115syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
117116rexlimdva 2752 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
11883, 117impbid 183 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w 
<->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) ) )
11918, 118bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C ) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) )
120119ex 423 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e. 
_V  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) ) )
1212, 7, 120pm5.21ndd 343 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   ~Pcpw 3714   {csn 3729   U.cuni 3929   |^|cint 3964   ` cfv 5358   Fincfn 7006   ficfi 7311
This theorem is referenced by:  elrfirn  26276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-fin 7010  df-fi 7312
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