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Theorem elrfirn2 26874
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, B, y    v, C   
v, I, y    v, V, y
Allowed substitution hints:    A( y)    C( y)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 4190 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  V  ->  ( C  e.  ~P B  <->  C 
C_  B ) )
21biimprd 214 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( C  C_  B  ->  C  e.  ~P B ) )
32ralimdv 2635 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( A. y  e.  I  C  C_  B  ->  A. y  e.  I  C  e.  ~P B ) )
43imp 418 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  ->  A. y  e.  I  C  e.  ~P B
)
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( y  e.  I  |->  C )  =  ( y  e.  I  |->  C )
65fmpt 5697 . . . 4  |-  ( A. y  e.  I  C  e.  ~P B  <->  ( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B
)
74, 6sylib 188 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B )
8 elrfirn 26873 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z ) ) ) )
97, 8syldan 456 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z ) ) ) )
10 inss1 3402 . . . . . 6  |-  ( ~P I  i^i  Fin )  C_ 
~P I
1110sseli 3189 . . . . 5  |-  ( v  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  ->  v  e.  ~P I )
12 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( v  e.  ~P I  -> 
v  C_  I )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( v  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  ->  v  C_  I )
14 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( y  e.  I  |->  C )
15 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
z
1614, 15nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( y  e.  I  |->  C ) `  z )
17 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )
18 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
)  =  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y ) )
1916, 17, 18cbviin 3956 . . . . . . 7  |-  |^|_ z  e.  v  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  z )  =  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )
20 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  y  e.  I )
21 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  C  C_  B
)
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  B  e.  V )
23 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  C  e.  _V )
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  C  e.  _V )
255fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  I  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
2620, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
2726ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  ( C  C_  B  ->  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2827ralimdva 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( A. y  e.  I  C  C_  B  ->  A. y  e.  I  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2928imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  ->  A. y  e.  I 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
30 ssralv 3250 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  I  ->  ( A. y  e.  I 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C  ->  A. y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
3129, 30mpan9 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  A. y  e.  v 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
32 iineq2 3938 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  C  ->  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
3331, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
3419, 33syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
3534ineq2d 3383 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  -> 
( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C )
)
3635eqeq2d 2307 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  -> 
( A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  z ) )  <->  A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
3713, 36sylan2 460 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) )  ->  ( A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  <->  A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C )
) )
3837rexbidva 2573 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( E. v  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C
) ) )
399, 38bitrd 244 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   |^|_ciin 3922    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271   Fincfn 6879   ficfi 7180
This theorem is referenced by:  cmpfiiin  26875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181
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