MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrnmpt Structured version   Unicode version

Theorem elrnmpt 5146
Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
elrnmpt  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem elrnmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2448 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
y  =  B  <->  C  =  B ) )
21rexbidv 2732 . 2  |-  ( y  =  C  ->  ( E. x  e.  A  y  =  B  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
3 rnmpt.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43rnmpt 5145 . 2  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
52, 4elab2g 3090 1  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1727   E.wrex 2712    e. cmpt 4291   ran crn 4908
This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5147  onnseq  6635  oarec  6834  fifo  7466  infpwfien  7974  fin23lem38  8260  fin1a2lem13  8323  ac6num  8390  isercoll2  12493  iserodd  13240  gsumwspan  14822  odf1o2  15238  neitr  17275  ordtbas2  17286  ordtopn1  17289  ordtopn2  17290  pnfnei  17315  mnfnei  17316  pnrmcld  17437  2ndcomap  17552  dis2ndc  17554  ptpjopn  17675  fbasrn  17947  elfm  18010  rnelfmlem  18015  rnelfm  18016  fmfnfmlem3  18019  fmfnfmlem4  18020  fmfnfm  18021  ptcmplem2  18115  tsmsfbas  18188  ustuqtoplem  18300  utopsnneiplem  18308  utopsnnei  18310  utopreg  18313  fmucnd  18353  neipcfilu  18357  imasdsf1olem  18434  xpsdsval  18442  met1stc  18582  metustelOLD  18612  metustel  18613  metustsymOLD  18622  metustsym  18623  metuel2  18640  metustblOLD  18641  metustbl  18642  restmetu  18648  xrtgioo  18868  minveclem3b  19360  uniioombllem3  19508  dvivth  19925  esumcst  24486  measdivcstOLD  24609  cvmsss2  24992  itg2addnclem2  26295  stoweidlem27  27790  stoweidlem31  27794  stoweidlem35  27798  stirlinglem5  27841  stirlinglem13  27849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pr 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-cnv 4915  df-dm 4917  df-rn 4918
  Copyright terms: Public domain W3C validator