MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrnmpt Unicode version

Theorem elrnmpt 5084
Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
elrnmpt  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem elrnmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2418 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
y  =  B  <->  C  =  B ) )
21rexbidv 2695 . 2  |-  ( y  =  C  ->  ( E. x  e.  A  y  =  B  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
3 rnmpt.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43rnmpt 5083 . 2  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
52, 4elab2g 3052 1  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675    e. cmpt 4234   ran crn 4846
This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5085  onnseq  6573  oarec  6772  fifo  7403  infpwfien  7907  fin23lem38  8193  fin1a2lem13  8256  ac6num  8323  isercoll2  12425  iserodd  13172  gsumwspan  14754  odf1o2  15170  neitr  17206  ordtbas2  17217  ordtopn1  17220  ordtopn2  17221  pnfnei  17246  mnfnei  17247  pnrmcld  17368  2ndcomap  17482  dis2ndc  17484  ptpjopn  17605  fbasrn  17877  elfm  17940  rnelfmlem  17945  rnelfm  17946  fmfnfmlem3  17949  fmfnfmlem4  17950  fmfnfm  17951  ptcmplem2  18045  tsmsfbas  18118  ustuqtoplem  18230  utopsnneiplem  18238  utopsnnei  18240  utopreg  18243  fmucnd  18283  neipcfilu  18287  imasdsf1olem  18364  xpsdsval  18372  met1stc  18512  metustelOLD  18542  metustel  18543  metustsymOLD  18552  metustsym  18553  metuel2  18570  metustblOLD  18571  metustbl  18572  restmetu  18578  xrtgioo  18798  minveclem3b  19290  uniioombllem3  19438  dvivth  19855  esumcst  24416  measdivcstOLD  24539  cvmsss2  24922  itg2addnclem2  26164  stoweidlem27  27651  stoweidlem31  27655  stoweidlem35  27659  stirlinglem5  27702  stirlinglem13  27710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856
  Copyright terms: Public domain W3C validator