MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrnmpt Unicode version

Theorem elrnmpt 4926
Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rnmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
elrnmpt  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem elrnmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2289 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
y  =  B  <->  C  =  B ) )
21rexbidv 2564 . 2  |-  ( y  =  C  ->  ( E. x  e.  A  y  =  B  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
3 rnmpt.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43rnmpt 4925 . 2  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
52, 4elab2g 2916 1  |-  ( C  e.  V  ->  ( C  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  C  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    e. cmpt 4077   ran crn 4690
This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  4927  onnseq  6361  oarec  6560  fifo  7185  infpwfien  7689  fin23lem38  7975  fin1a2lem13  8038  ac6num  8106  isercoll2  12142  iserodd  12888  gsumwspan  14468  odf1o2  14884  ordtbas2  16921  ordtopn1  16924  ordtopn2  16925  pnfnei  16950  mnfnei  16951  pnrmcld  17070  2ndcomap  17184  dis2ndc  17186  ptpjopn  17306  fbasrn  17579  elfm  17642  rnelfmlem  17647  rnelfm  17648  fmfnfmlem3  17651  fmfnfmlem4  17652  fmfnfm  17653  ptcmplem2  17747  tsmsfbas  17810  imasdsf1olem  17937  xpsdsval  17945  met1stc  18067  xrtgioo  18312  minveclem3b  18792  uniioombllem3  18940  dvivth  19357  esumcst  23436  measdivcstOLD  23551  measdivcst  23552  cvmsss2  23805  stoweidlem27  27776  stoweidlem31  27780  stoweidlem35  27784  stirlinglem5  27827  stirlinglem13  27835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700
  Copyright terms: Public domain W3C validator