Theorem elrnopab 3858

Description: Membership in the range of an ordered pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
elrnopab.1	|- B e. V
elrnopab.2	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
elrnopab	|- (C e. ran F <-> E.x e. A C = B)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C

Proof of Theorem elrnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnopab.2	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
2	1	elrnopabg 3857	. 2 |- (A.x e. A B e. V -> (C e. ran F <-> E.x e. A C = B))
3		elrnopab.1	. . 3 |- B e. V
4	3	a1i 8	. 2 |- (x e. A -> B e. V)
5	2, 4	mprg 1747	1 |- (C e. ran F <-> E.x e. A C = B)

Syntax hints:   <-> wb 153   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wrex 1693  Vcvv 1858  {copab 2721  ran crn 3228

This theorem is referenced by:  pwfilem 4630  grplactf1o 8182  rnbra 10123

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-fv 3255

Copyright terms: Public domain