Theorem elspan 9461

Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space.

Hypothesis

Ref	Expression
elspan.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
elspan	|- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem elspan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanvalt 9294	. . 3 |- (A (_ H~ -> (span` A) = |^|{x e. SH | A (_ x})
2	1	eleq2d 1544	. 2 |- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> B e. |^|{x e. SH | A (_ x}))
3		elspan.1	. . 3 |- B e. V
4	3	elintrab 2549	. 2 |- (B e. |^|{x e. SH | A (_ x} <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x))
5	2, 4	syl6bb 538	1 |- (A (_ H~ -> (B e. (span` A) <-> A.x e. SH (A (_ x -> B e. x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 960  A.wral 1648  {crab 1651  Vcvv 1814   (_ wss 2050  |^|cint 2537  ` cfv 3188  H~chil 8783  SHcsh 8792  spancspn 8796

This theorem is referenced by:  spanun 9462  spansn 9475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-hlim 8836  df-sh 9071  df-ch 9087  df-span 9269

Copyright terms: Public domain