HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elspani Structured version   Unicode version

Theorem elspani 23045
Description: Membership in the span of a subset of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
elspan.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elspani  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( B  e.  ( span `  A
)  <->  A. x  e.  SH  ( A  C_  x  ->  B  e.  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem elspani
StepHypRef Expression
1 spanval 22835 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( span `  A )  =  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } )
21eleq2d 2503 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( B  e.  ( span `  A
)  <->  B  e.  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x } ) )
3 elspan.1 . . 3  |-  B  e. 
_V
43elintrab 4062 . 2  |-  ( B  e.  |^| { x  e.  SH  |  A  C_  x }  <->  A. x  e.  SH  ( A  C_  x  ->  B  e.  x )
)
52, 4syl6bb 253 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( B  e.  ( span `  A
)  <->  A. x  e.  SH  ( A  C_  x  ->  B  e.  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   |^|cint 4050   ` cfv 5454   ~Hchil 22422   SHcsh 22431   spancspn 22435
This theorem is referenced by:  spanuni  23046  spansni  23059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hv0cl 22506  ax-hfvmul 22508
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-map 7020  df-nn 10001  df-hlim 22475  df-sh 22709  df-ch 22724  df-span 22811
  Copyright terms: Public domain W3C validator