HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elspansn2 Unicode version

Theorem elspansn2 23030
Description: Membership in the span of a singleton. All members are collinear with the generating vector. (Contributed by NM, 5-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elspansn2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  B  =/=  0h )  ->  ( A  e.  ( span `  { B } )  <-> 
A  =  ( ( ( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B ) ) )

Proof of Theorem elspansn2
StepHypRef Expression
1 spansn 23022 . . . 4  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( span `  { B }
)  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) )
21eleq2d 2479 . . 3  |-  ( B  e.  ~H  ->  ( A  e.  ( span `  { B } )  <-> 
A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
323ad2ant2 979 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  B  =/=  0h )  ->  ( A  e.  ( span `  { B } )  <-> 
A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
4 eleq1 2472 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) ) ) )
5 id 20 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  A  =  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h ) )
6 oveq1 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  .ih  B )  =  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
) )
76oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) ) )
87oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( A  .ih  B )  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B ) )
95, 8eqeq12d 2426 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( A  =  ( (
( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B )  <->  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B ) ) )
104, 9bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  =  (
( ( A  .ih  B )  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B ) )  <-> 
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B ) ) ) )
1110imbi2d 308 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( B  =/=  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  =  (
( ( A  .ih  B )  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B ) ) )  <->  ( B  =/= 
0h  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B ) ) ) ) )
12 neeq1 2583 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  =/=  0h  <->  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  =/=  0h ) )
13 sneq 3793 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  { B }  =  { if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) } )
1413fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( _|_ `  { B }
)  =  ( _|_ `  { if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) } ) )
1514fveq2d 5699 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  { if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) } ) ) )
1615eleq2d 2479 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B }
) )  <->  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) } ) ) ) )
17 oveq2 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
18 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  B )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  B
) )
19 oveq2 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  B )  =  ( if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2018, 19eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( B  .ih  B )  =  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )
) )
2117, 20oveq12d 6066 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  /  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
22 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  B  =  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )
2321, 22oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  /  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )
2423eqeq2d 2423 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  =  ( ( ( if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B
)  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  /  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
2516, 24bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B ) )  <-> 
( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) } ) )  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  /  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) ) )
2612, 25imbi12d 312 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  ->  (
( B  =/=  0h  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  if ( A  e. 
~H ,  A ,  0h )  =  (
( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  B )  /  ( B  .ih  B ) )  .h  B ) ) )  <->  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  =/=  0h  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) } ) )  <->  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  /  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) ) ) )
27 ax-hv0cl 22467 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
2827elimel 3759 . . . . 5  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
2927elimel 3759 . . . . 5  |-  if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  e.  ~H
3028, 29h1de2bi 23017 . . . 4  |-  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  =/=  0h  ->  ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h ) } ) )  <->  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  =  ( ( ( if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) )  /  ( if ( B  e.  ~H ,  B ,  0h )  .ih  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) )  .h  if ( B  e. 
~H ,  B ,  0h ) ) ) )
3111, 26, 30dedth2h 3749 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( B  =/=  0h  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  =  (
( ( A  .ih  B )  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B ) ) ) )
32313impia 1150 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  B  =/=  0h )  ->  ( A  e.  ( _|_ `  ( _|_ `  { B } ) )  <->  A  =  ( ( ( A 
.ih  B )  / 
( B  .ih  B
) )  .h  B
) ) )
333, 32bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  B  =/=  0h )  ->  ( A  e.  ( span `  { B } )  <-> 
A  =  ( ( ( A  .ih  B
)  /  ( B 
.ih  B ) )  .h  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   ifcif 3707   {csn 3782   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    / cdiv 9641   ~Hchil 22383    .h csm 22385    .ih csp 22386   0hc0v 22388   _|_cort 22394   spancspn 22396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cc 8279  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvmulass 22471  ax-hvdistr1 22472  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548  ax-hcompl 22665
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-lm 17255  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cfil 19169  df-cau 19170  df-cmet 19171  df-grpo 21740  df-gid 21741  df-ginv 21742  df-gdiv 21743  df-ablo 21831  df-subgo 21851  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-vs 22039  df-nmcv 22040  df-ims 22041  df-dip 22158  df-ssp 22182  df-ph 22275  df-cbn 22326  df-hnorm 22432  df-hba 22433  df-hvsub 22435  df-hlim 22436  df-hcau 22437  df-sh 22670  df-ch 22685  df-oc 22715  df-ch0 22716  df-span 22772
  Copyright terms: Public domain W3C validator