Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elsubops Unicode version

Theorem elsubops 25635
Description: The elements of a subbase are open sets. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
elsubops.1  |-  K  =  ( topGen `  ( fi `  S ) )
Assertion
Ref Expression
elsubops  |-  ( S  e.  A  ->  S  C_  K )

Proof of Theorem elsubops
StepHypRef Expression
1 ssfii 7188 . . 3  |-  ( S  e.  A  ->  S  C_  ( fi `  S
) )
2 fibas 16731 . . . 4  |-  ( fi
`  S )  e.  TopBases
3 bastg 16720 . . . 4  |-  ( ( fi `  S )  e.  TopBases  ->  ( fi `  S )  C_  ( topGen `
 ( fi `  S ) ) )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( fi
`  S )  C_  ( topGen `  ( fi `  S ) )
51, 4syl6ss 3204 . 2  |-  ( S  e.  A  ->  S  C_  ( topGen `  ( fi `  S ) ) )
6 elsubops.1 . 2  |-  K  =  ( topGen `  ( fi `  S ) )
75, 6syl6sseqr 3238 1  |-  ( S  e.  A  ->  S  C_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271   ficfi 7180   topGenctg 13358   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  intopcoaconlem3b  25641  intopcoaconlem3  25642  intopcoaconb  25643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-bases 16654
  Copyright terms: Public domain W3C validator