Theorem elsymgrn 10486

Description: Two ways of saying a function is a 1-1-onto mapping of A to itself. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
elsymgrn	|- (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A)

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem elsymgrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1864	. 2 |- (F e. P -> F e. V)
2		f1of 3746	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->A -> F:A-->A)
3		elsymgrn.1	. . . 4 |- A e. V
4		fex 3709	. . . 4 |- ((F:A-->A /\ A e. V) -> F e. V)
5	3, 4	mpan2 708	. . 3 |- (F:A-->A -> F e. V)
6	2, 5	syl 10	. 2 |- (F:A-1-1-onto->A -> F e. V)
7		f1oeq1 3741	. . 3 |- (x = F -> (x:A-1-1-onto->A <-> F:A-1-1-onto->A))
8		elsymgrn.2	. . 3 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
9	7, 8	elab2g 1947	. 2 |- (F e. V -> (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A))
10	1, 6, 9	pm5.21nii 691	1 |- (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A)

Syntax hints:   <-> wb 153   = wceq 997   e. wcel 999  {cab 1509  Vcvv 1858  -->wf 3235  -1-1-onto->wf1o 3238

This theorem is referenced by:  symgoprab 10487  symgf 10490  symggrpi 10491  symgidi 10492  cayleylem1 10494  cayleylem2 10495

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254

Copyright terms: Public domain