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Theorem eltg2 17015
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 17013 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )
21eleq2d 2502 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A  e.  { z  |  ( z 
C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } ) )
3 elex 2956 . . . 4  |-  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  ->  A  e.  _V )
43adantl 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )  ->  A  e.  _V )
5 uniexg 4698 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
6 ssexg 4341 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  U. B  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
75, 6sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  U. B )  ->  A  e.  _V )
98adantrr 698 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
10 sseq1 3361 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  C_  U. B  <->  A  C_  U. B
) )
11 sseq2 3362 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  A ) )
1211anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  z
)  <->  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1312rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1413raleqbi1dv 2904 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1510, 14anbi12d 692 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) )  <->  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
1615elabg 3075 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
174, 9, 16pm5.21nd 869 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
182, 17bitrd 245 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   U.cuni 4007   ` cfv 5446   topGenctg 13657
This theorem is referenced by:  eltg2b  17016  tg1  17021  tgcl  17026  elmopn  18464  metutopOLD  18604  psmetutop  18605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659
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