MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Unicode version

Theorem eltg2b 16713
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 16712 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
2 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  y )
32reximi 2663 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 eluni2 3847 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
53, 4sylibr 203 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  U. B )
65ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
7 dfss3 3183 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
86, 7sylibr 203 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A  C_  U. B )
98pm4.71ri 614 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
101, 9syl6bbr 254 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  tg2  16719  tgcl  16723  eltop2  16729  tgss2  16741  basgen2  16743  2ndc1stc  17193  eltx  17279  tgqioo  18322  altretop  25703  isfne2  26374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator