MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Unicode version

Theorem eltg2b 16697
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 16696 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
2 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  y )
32reximi 2650 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 eluni2 3831 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
53, 4sylibr 203 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  U. B )
65ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
7 dfss3 3170 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
86, 7sylibr 203 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A  C_  U. B )
98pm4.71ri 614 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
101, 9syl6bbr 254 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255   topGenctg 13342
This theorem is referenced by:  tg2  16703  tgcl  16707  eltop2  16713  tgss2  16725  basgen2  16727  2ndc1stc  17177  eltx  17263  tgqioo  18306  altretop  25600  isfne2  26271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344
  Copyright terms: Public domain W3C validator