Theorem eltg3i 17031

Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3i	|- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Proof of Theorem eltg3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 449	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ B )
2		pwuni 4398	. . . . 5 |- A C_ ~P U. A
3	1, 2	jctir 526	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) )
4		ssin 3565	. . . 4 |- ( ( A C_ B /\ A C_ ~P U. A ) <-> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
5	3, 4	sylib 190	. . 3 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> A C_ ( B i^i ~P U. A ) )
6	5	unissd 4041	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) )
7		eltg 17027	. . 3 |- ( B e. V -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
8	7	adantr 453	. 2 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> ( U. A e. ( topGen ` B ) <-> U. A C_ U. ( B i^i ~P U. A ) ) )
9	6, 8	mpbird 225	1 |- ( ( B e. V /\ A C_ B ) -> U. A e. ( topGen ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   e. wcel 1726   i^i cin 3321   C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   ` cfv 5457   topGenctg 13670

This theorem is referenced by:  eltg3  17032  tgiun  17049  tgidm  17050  tgrest  17228  leordtval2  17281  ontgval  26186  fnemeet1  26409  fnejoin2  26412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-topgen 13672