MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Unicode version

Theorem eltg3i 16985
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
2 pwuni 4359 . . . . 5  |-  A  C_  ~P U. A
31, 2jctir 525 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A ) )
4 ssin 3527 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A
)  <->  A  C_  ( B  i^i  ~P U. A
) )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  ( B  i^i  ~P
U. A ) )
65unissd 4003 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) )
7 eltg 16981 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( U. A  e.  ( topGen `
 B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A ) ) )
87adantr 452 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( U. A  e.  ( topGen `  B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) ) )
96, 8mpbird 224 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   U.cuni 3979   ` cfv 5417   topGenctg 13624
This theorem is referenced by:  eltg3  16986  tgiun  17003  tgidm  17004  tgrest  17181  leordtval2  17234  ontgval  26089  fnemeet1  26289  fnejoin2  26292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fv 5425  df-topgen 13626
  Copyright terms: Public domain W3C validator