MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg4i Unicode version

Theorem eltg4i 16988
Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg4i  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5724 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
2 eltg 16985 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A  C_  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A 
C_  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
43ibi 233 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  C_  U. ( B  i^i  ~P A ) )
5 inss2 3530 . . . . 5  |-  ( B  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A
65unissi 4006 . . . 4  |-  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  U. ~P A
7 unipw 4382 . . . 4  |-  U. ~P A  =  A
86, 7sseqtri 3348 . . 3  |-  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  A
98a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  A )
104, 9eqssd 3333 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   U.cuni 3983   dom cdm 4845   ` cfv 5421   topGenctg 13628
This theorem is referenced by:  eltg3  16990  tgdom  17006  tgidm  17008  ontgval  26093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-topgen 13630
  Copyright terms: Public domain W3C validator