MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop Structured version   Unicode version

Theorem eltop 17039
Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )

Proof of Theorem eltop
StepHypRef Expression
1 tgtop 17038 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
21eleq2d 2503 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  e.  J ) )
3 eltg 17022 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )
42, 3bitr3d 247 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   ` cfv 5454   topGenctg 13665   Topctop 16958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topgen 13667  df-top 16963
  Copyright terms: Public domain W3C validator