MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Unicode version

Theorem eltop2 16965
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J, y

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 16963 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
21eleq2d 2456 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  e.  J ) )
3 eltg2b 16949 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
42, 3bitr3d 247 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   ` cfv 5396   topGenctg 13594   Topctop 16883
This theorem is referenced by:  isclo  17076  cncnp  17268  ist1-2  17335  hauscmp  17394  llycmpkgen2  17505  ptpjopn  17567  txkgen  17607  xkococn  17615  xkoinjcn  17642  fclscf  17980  subgntr  18059  opnsubg  18060  divstgpopn  18072  prdsxmslem2  18451  zdis  18720  efopn  20418  cvmopnlem  24746  neibastop3  26084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404  df-topgen 13596  df-top 16888
  Copyright terms: Public domain W3C validator