MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop2 Unicode version

Theorem eltop2 16729
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, J, y

Proof of Theorem eltop2
StepHypRef Expression
1 tgtop 16727 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
21eleq2d 2363 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  e.  J ) )
3 eltg2b 16713 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
42, 3bitr3d 246 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ` cfv 5271   topGenctg 13358   Topctop 16647
This theorem is referenced by:  isclo  16840  cncnp  17025  ist1-2  17091  hauscmp  17150  llycmpkgen2  17261  ptpjopn  17322  txkgen  17362  xkococn  17370  xkoinjcn  17397  fclscf  17736  subgntr  17805  opnsubg  17806  divstgpopn  17818  prdsxmslem2  18091  zdis  18338  efopn  20021  cvmopnlem  23824  neibastop3  26414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652
  Copyright terms: Public domain W3C validator