MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltpsg Structured version   Unicode version

Theorem eltpsg 17015
Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
eltpsi.k  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
Assertion
Ref Expression
eltpsg  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  TopSp
)

Proof of Theorem eltpsg
StepHypRef Expression
1 eltpsi.k . . . . 5  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  J >. }
2 df-tset 13553 . . . . 5  |- TopSet  = Slot  9
3 1lt9 10182 . . . . 5  |-  1  <  9
4 9nn 10145 . . . . 5  |-  9  e.  NN
51, 2, 3, 42strop 13572 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  (TopSet `  K ) )
6 toponmax 16998 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  J )
71, 2, 3, 42strbas 13571 . . . . . 6  |-  ( A  e.  J  ->  A  =  ( Base `  K
) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  =  ( Base `  K )
)
98fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  (TopOn `  A
)  =  (TopOn `  ( Base `  K )
) )
105, 9eleq12d 2506 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( J  e.  (TopOn `  A )  <->  (TopSet `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K
) ) ) )
1110ibi 234 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  (TopSet `  K
)  e.  (TopOn `  ( Base `  K )
) )
12 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
13 eqid 2438 . . 3  |-  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  K )
1412, 13tsettps 17013 . 2  |-  ( (TopSet `  K )  e.  (TopOn `  ( Base `  K
) )  ->  K  e.  TopSp )
1511, 14syl 16 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  K  e.  TopSp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cpr 3817   <.cop 3819   ` cfv 5457   9c9 10061   ndxcnx 13471   Basecbs 13474  TopSetcts 13540  TopOnctopon 16964   TopSpctps 16966
This theorem is referenced by:  eltpsi  17016  stoig  17232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-tset 13553  df-rest 13655  df-topn 13656  df-top 16968  df-topon 16971  df-topsp 16972
  Copyright terms: Public domain W3C validator