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Theorem eltx 17480
Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltx  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, p, y, J    K, p, x, y    S, p, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, p)    W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
21txval 17476 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
32eleq2d 2433 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <-> 
S  e.  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) ) )
41txbasex 17478 . . . 4  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  e. 
_V )
5 eltg2b 16914 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
7 vex 2876 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
8 vex 2876 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8xpex 4904 . . . . . 6  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
109rgen2w 2696 . . . . 5  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( x  X.  y )  e.  _V
11 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
12 eleq2 2427 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
p  e.  z  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
13 sseq1 3285 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
z  C_  S  <->  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1412, 13anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1511, 14rexrnmpt2 6085 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  K  (
x  X.  y )  e.  _V  ->  ( E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1610, 15ax-mp 8 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1716ralbii 2652 . . 3  |-  ( A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
186, 17syl6bb 252 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
193, 18bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    C_ wss 3238    X. cxp 4790   ran crn 4793   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983   topGenctg 13552    tX ctx 17472
This theorem is referenced by:  txcls  17516  txcnpi  17519  txdis  17543  txindis  17545  txdis1cn  17546  txlly  17547  txnlly  17548  txtube  17551  txcmplem1  17552  hausdiag  17556  tx1stc  17561  divstgplem  18016  cvmlift2lem10  24446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-topgen 13554  df-tx 17474
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