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Theorem eltx 17605
Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltx  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, p, y, J    K, p, x, y    S, p, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, p)    W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
21txval 17601 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
32eleq2d 2505 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <-> 
S  e.  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) ) )
41txbasex 17603 . . . 4  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  e. 
_V )
5 eltg2b 17029 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
7 vex 2961 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
8 vex 2961 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8xpex 4993 . . . . . 6  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
109rgen2w 2776 . . . . 5  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( x  X.  y )  e.  _V
11 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
12 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
p  e.  z  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
13 sseq1 3371 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
z  C_  S  <->  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1412, 13anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1511, 14rexrnmpt2 6188 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  K  (
x  X.  y )  e.  _V  ->  ( E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1610, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1716ralbii 2731 . . 3  |-  ( A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
186, 17syl6bb 254 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
193, 18bitrd 246 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322    X. cxp 4879   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   topGenctg 13670    tX ctx 17597
This theorem is referenced by:  txcls  17641  txcnpi  17645  txdis  17669  txindis  17671  txdis1cn  17672  txlly  17673  txnlly  17674  txtube  17677  txcmplem1  17678  hausdiag  17682  tx1stc  17687  divstgplem  18155  cvmlift2lem10  25004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-topgen 13672  df-tx 17599
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