MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Unicode version

Theorem eluz 10241
Description: Membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 10234 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
21baibd 875 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  uzneg  10246  uztric  10249  uzwo3  10311  fzn  10810  fzsplit2  10815  elfz2nn0  10821  fznn  10852  uzsplit  10855  fzouzsplit  10901  faclbnd  11303  bcval5  11330  fz1isolem  11399  seqcoll  11401  rexuzre  11836  caurcvg  12149  caucvg  12151  summolem2a  12188  fsum0diaglem  12239  climcnds  12310  mertenslem1  12340  ruclem10  12517  isprm3  12767  eulerthlem2  12850  pcpremul  12896  pcdvdsb  12921  pcadd  12937  pcfac  12947  pcbc  12948  prmunb  12961  prmreclem5  12967  vdwnnlem3  13044  lt6abl  15181  ovolunlem1a  18855  mbflimsup  19021  plyco0  19574  plyeq0lem  19592  aannenlem1  19708  aaliou3lem2  19723  aaliou3lem8  19725  chtublem  20450  bcmax  20517  bpos1lem  20521  bposlem1  20523  fzsplit3  23031  ballotlem2  23047  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemimin  23064  elfzm12  24008  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  axlowdim  24589  incsequz  26458  incsequz2  26459  nacsfix  26787  ellz1  26846  eluzrabdioph  26887  monotuz  27026  expdiophlem1  27114  fmul01  27710  climsuselem1  27733  climsuse  27734  wallispilem5  27818  stirlinglem8  27830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator