MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Unicode version

Theorem eluz 10257
Description: Membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 10250 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
21baibd 875 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  uzneg  10262  uztric  10265  uzwo3  10327  fzn  10826  fzsplit2  10831  elfz2nn0  10837  fznn  10868  uzsplit  10871  fzouzsplit  10917  faclbnd  11319  bcval5  11346  fz1isolem  11415  seqcoll  11417  rexuzre  11852  caurcvg  12165  caucvg  12167  summolem2a  12204  fsum0diaglem  12255  climcnds  12326  mertenslem1  12356  ruclem10  12533  isprm3  12783  eulerthlem2  12866  pcpremul  12912  pcdvdsb  12937  pcadd  12953  pcfac  12963  pcbc  12964  prmunb  12977  prmreclem5  12983  vdwnnlem3  13060  lt6abl  15197  ovolunlem1a  18871  mbflimsup  19037  plyco0  19590  plyeq0lem  19608  aannenlem1  19724  aaliou3lem2  19739  aaliou3lem8  19741  chtublem  20466  bcmax  20533  bpos1lem  20537  bposlem1  20539  fzsplit3  23047  ballotlem2  23063  ballotlemfc0  23067  ballotlemfcc  23068  ballotlemimin  23080  elfzm12  24023  prodmolem2a  24157  axlowdimlem16  24657  axlowdimlem17  24658  axlowdim  24661  incsequz  26561  incsequz2  26562  nacsfix  26890  ellz1  26949  eluzrabdioph  26990  monotuz  27129  expdiophlem1  27217  fmul01  27813  climsuselem1  27836  climsuse  27837  wallispilem5  27921  stirlinglem8  27933
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator