MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz Structured version   Unicode version

Theorem eluz 10499
Description: Membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 2-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz
StepHypRef Expression
1 eluz1 10492 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
21baibd 876 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  uzneg  10504  uztric  10507  uzwo3  10569  fzn  11071  fzsplit2  11076  elfz2nn0  11082  fznn  11115  uzsplit  11118  fzouzsplit  11168  faclbnd  11581  bcval5  11609  fz1isolem  11710  seqcoll  11712  rexuzre  12156  caurcvg  12470  caucvg  12472  summolem2a  12509  fsum0diaglem  12560  climcnds  12631  mertenslem1  12661  ruclem10  12838  isprm3  13088  eulerthlem2  13171  pcpremul  13217  pcdvdsb  13242  pcadd  13258  pcfac  13268  pcbc  13269  prmunb  13282  prmreclem5  13288  vdwnnlem3  13365  lt6abl  15504  ovolunlem1a  19392  mbflimsup  19558  plyco0  20111  plyeq0lem  20129  aannenlem1  20245  aaliou3lem2  20260  aaliou3lem8  20262  chtublem  20995  bcmax  21062  bpos1lem  21066  bposlem1  21068  fzsplit3  24150  ballotlem2  24746  ballotlemfc0  24750  ballotlemfcc  24751  ballotlemimin  24763  elfzm12  25112  ntrivcvgmullem  25229  prodmolem2a  25260  axlowdimlem16  25896  axlowdimlem17  25897  axlowdim  25900  mblfinlem2  26244  incsequz  26452  incsequz2  26453  nacsfix  26766  ellz1  26825  eluzrabdioph  26866  monotuz  27004  expdiophlem1  27092  fmul01  27686  climsuselem1  27709  climsuse  27710  wallispilem5  27794  stirlinglem8  27806  ssfz12  28104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator