MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1 Unicode version

Theorem eluz1 10417
Description: Membership in the set of upper integers starting at  M. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluz1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )

Proof of Theorem eluz1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzval 10415 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M )  =  { k  e.  ZZ  |  M  <_  k } )
21eleq2d 2447 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  N  e.  { k  e.  ZZ  |  M  <_  k } ) )
3 breq2 4150 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  ( M  <_  k  <->  M  <_  N ) )
43elrab 3028 . 2  |-  ( N  e.  { k  e.  ZZ  |  M  <_ 
k }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
52, 4syl6bb 253 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   {crab 2646   class class class wbr 4146   ` cfv 5387    <_ cle 9047   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413
This theorem is referenced by:  eluz2  10419  eluz1i  10420  eluz  10424  uzid  10425  uzss  10431  eluzp1m1  10434  raluz  10450  rexuz  10452  brfi1uzind  11635  algcvga  12990  fzspl  23978  preduz  25217  lzunuz  26510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-ov 6016  df-neg 9219  df-z 10208  df-uz 10414
  Copyright terms: Public domain W3C validator