MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Structured version   Unicode version

Theorem eluz1i 10500
Description: Membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1  |-  M  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluz1i  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2  |-  M  e.  ZZ
2 eluz1 10497 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457    <_ cle 9126   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493
This theorem is referenced by:  eluzaddi  10517  eluzsubi  10518  eluz2b1  10552  injresinj  11205  faclbnd4lem1  11589  climcndslem1  12634  ef01bndlem  12790  sin01bnd  12791  cos01bnd  12792  sin01gt0  12796  dvradcnv  20342  bposlem3  21075  bposlem4  21076  bposlem5  21077  bposlem9  21081  usgraexvlem  21419  rnlogblem  24404  ballotlem2  24751  ballotlemfc0  24755  ballotlemfcc  24756  axlowdimlem16  25901  axlowdimlem17  25902  nn0prpwlem  26339  jm2.20nn  27082  stoweidlem17  27756  wallispilem4  27807  ubmelm1fzo  28150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-neg 9299  df-z 10288  df-uz 10494
  Copyright terms: Public domain W3C validator