MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Unicode version

Theorem eluz1i 10253
Description: Membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1  |-  M  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluz1i  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2  |-  M  e.  ZZ
2 eluz1 10250 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  eluzaddi  10270  eluzsubi  10271  eluz2b1  10305  faclbnd4lem1  11322  climcndslem1  12324  ef01bndlem  12480  sin01bnd  12481  cos01bnd  12482  sin01gt0  12486  dvradcnv  19813  bposlem3  20541  bposlem4  20542  bposlem5  20543  bposlem9  20547  ballotlemfc0  23067  ballotlemfcc  23068  ballotlemfrci  23102  rnlogblem  23416  axlowdimlem16  24657  axlowdimlem17  24658  cndpv  26152  pgapspf  26155  nn0prpwlem  26341  jm2.20nn  27193  stoweidlem17  27869  injresinj  28215  usgraexvlem  28261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator