MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Unicode version

Theorem eluz1i 10459
Description: Membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1  |-  M  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluz1i  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2  |-  M  e.  ZZ
2 eluz1 10456 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421    <_ cle 9085   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452
This theorem is referenced by:  eluzaddi  10476  eluzsubi  10477  eluz2b1  10511  injresinj  11163  faclbnd4lem1  11547  climcndslem1  12592  ef01bndlem  12748  sin01bnd  12749  cos01bnd  12750  sin01gt0  12754  dvradcnv  20298  bposlem3  21031  bposlem4  21032  bposlem5  21033  bposlem9  21037  usgraexvlem  21375  rnlogblem  24360  ballotlem2  24707  ballotlemfc0  24711  ballotlemfcc  24712  axlowdimlem16  25808  axlowdimlem17  25809  nn0prpwlem  26223  jm2.20nn  26966  stoweidlem17  27641  wallispilem4  27692  ubmelm1fzo  27995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ov 6051  df-neg 9258  df-z 10247  df-uz 10453
  Copyright terms: Public domain W3C validator