MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2 Unicode version

Theorem eluz2 10458
Description: Membership in a set of upper integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10457 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 simp1 957 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 eluz1 10456 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
4 ibar 491 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )
) ) )
53, 4bitrd 245 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) ) )
6 3anass 940 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
75, 6syl6bbr 255 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
81, 2, 7pm5.21nii 343 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421    <_ cle 9085   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452
This theorem is referenced by:  eluzelz  10460  eluzle  10462  uztrn  10466  eluzp1p1  10475  uzm1  10480  uznn0sub  10481  raluz2  10490  rexuz2  10492  peano2uz  10494  uzind4  10498  zsupss  10529  elfzuzb  11017  4fvwrd4  11084  elfzo2  11106  elfzouz2  11116  fzossrbm1  11127  fzostep1  11160  fzind2  11161  flword2  11183  uzsup  11207  fzsdom2  11656  ccatval1  11708  rexuzre  12119  limsupgre  12238  rlimclim1  12302  rlimclim  12303  climrlim2  12304  isercolllem1  12421  isercoll  12424  climcndslem1  12592  bitsmod  12911  smueqlem  12965  vdwlem9  13320  strlemor1  13519  strleun  13522  fislw  15222  efgsp1  15332  efgredleme  15338  lt6abl  15467  ablfac1eu  15594  znidomb  16805  dvfsumlem1  19871  dvfsumlem3  19873  plyaddlem1  20093  coeidlem  20117  ppisval  20847  chtdif  20902  ppidif  20907  ppiublem1  20947  ppiub  20949  chtub  20957  lgsdilem2  21076  lgsquadlem1  21099  lgsquadlem3  21101  chebbnd1lem1  21124  chebbnd1lem2  21125  chebbnd1lem3  21126  dchrisumlem2  21145  dchrvmasumiflem1  21156  mulog2sumlem2  21190  logdivbnd  21211  pntlemg  21253  pntlemq  21256  pntlemf  21260  4cycl4v4e  21614  4cycl4dv4e  21616  eupath2lem3  21662  ssnnssfz  24109  ballotlemsdom  24730  ballotlemsel1i  24731  ballotlemfrceq  24747  erdszelem8  24845  climuzcnv  25069  axlowdim  25812  fdc  26347  eldioph2lem1  26716  hbt  27210  fmul01lt1lem2  27590  stoweidlem11  27635  stoweidlem26  27650  wallispilem4  27692  ssfz12  27984  elfzelfzadd  27990  elfzomelpfzo  27997  elfzonelfzo  28000  swrd0swrd  28017  swrdccatin2  28026  swrdccatin12lem3a  28029  swrdccatin12lem3c  28031  swrdccatin12  28034  swrdccatin12b  28035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-neg 9258  df-z 10247  df-uz 10453
  Copyright terms: Public domain W3C validator