MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2 Structured version   Unicode version

Theorem eluz2 10499
Description: Membership in a set of upper integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10498 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 simp1 958 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 eluz1 10497 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
4 ibar 492 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )
) ) )
53, 4bitrd 246 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) ) )
6 3anass 941 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
75, 6syl6bbr 256 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
81, 2, 7pm5.21nii 344 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457    <_ cle 9126   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493
This theorem is referenced by:  eluzelz  10501  eluzle  10503  uztrn  10507  eluzp1p1  10516  uzm1  10521  uznn0sub  10522  raluz2  10531  rexuz2  10533  peano2uz  10535  uzind4  10539  zsupss  10570  elfzuzb  11058  4fvwrd4  11126  elfzo2  11148  elfzouz2  11158  fzossrbm1  11169  fzostep1  11202  fzind2  11203  flword2  11225  uzsup  11249  fzsdom2  11698  ccatval1  11750  rexuzre  12161  limsupgre  12280  rlimclim1  12344  rlimclim  12345  climrlim2  12346  isercolllem1  12463  isercoll  12466  climcndslem1  12634  bitsmod  12953  smueqlem  13007  vdwlem9  13362  strlemor1  13561  strleun  13564  fislw  15264  efgsp1  15374  efgredleme  15380  lt6abl  15509  ablfac1eu  15636  znidomb  16847  dvfsumlem1  19915  dvfsumlem3  19917  plyaddlem1  20137  coeidlem  20161  ppisval  20891  chtdif  20946  ppidif  20951  ppiublem1  20991  ppiub  20993  chtub  21001  lgsdilem2  21120  lgsquadlem1  21143  lgsquadlem3  21145  chebbnd1lem1  21168  chebbnd1lem2  21169  chebbnd1lem3  21170  dchrisumlem2  21189  dchrvmasumiflem1  21200  mulog2sumlem2  21234  logdivbnd  21255  pntlemg  21297  pntlemq  21300  pntlemf  21304  4cycl4v4e  21658  4cycl4dv4e  21660  eupath2lem3  21706  ssnnssfz  24153  ballotlemsdom  24774  ballotlemsel1i  24775  ballotlemfrceq  24791  erdszelem8  24889  climuzcnv  25113  fallfacval4  25364  axlowdim  25905  fdc  26463  eldioph2lem1  26832  hbt  27325  fmul01lt1lem2  27705  stoweidlem11  27750  stoweidlem26  27765  wallispilem4  27807  1eluzge0  28123  2eluzge0  28124  2eluzge1  28125  uzletr  28126  ssfz12  28127  elfzelfzadd  28133  elfzomelpfzo  28152  elfzonelfzo  28155  el2fzo  28161  fzoopth  28162  ccatsymb  28211  swrdtrcfv0  28229  swrd0swrd  28231  swrdccatin12lem3a  28242  swrdccatin12  28248  prmgt1  28257  modprm0  28262  2cshw2lem1  28286  swrdtrcfvl  28299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-neg 9299  df-z 10288  df-uz 10494
  Copyright terms: Public domain W3C validator