MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2 Unicode version

Theorem eluz2 10236
Description: Membership in a set of upper integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show  M  e.  ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10235 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 simp1 955 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3 eluz1 10234 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
4 ibar 490 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )
) ) )
53, 4bitrd 244 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) ) )
6 3anass 938 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
75, 6syl6bbr 254 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
81, 2, 7pm5.21nii 342 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  eluzelz  10238  eluzle  10240  uztrn  10244  eluzp1p1  10253  uzm1  10258  uznn0sub  10259  raluz2  10268  rexuz2  10270  peano2uz  10272  uzind4  10276  zsupss  10307  elfzuzb  10792  elfzo2  10878  elfzouz2  10888  fzostep1  10922  fzind2  10923  flword2  10943  uzsup  10967  fzsdom2  11382  ccatval1  11431  rexuzre  11836  limsupgre  11955  rlimclim1  12019  rlimclim  12020  climrlim2  12021  isercolllem1  12138  isercoll  12141  climcndslem1  12308  bitsmod  12627  smueqlem  12681  vdwlem9  13036  strlemor1  13235  strleun  13238  fislw  14936  efgsp1  15046  efgredleme  15052  lt6abl  15181  ablfac1eu  15308  znidomb  16515  dvfsumlem1  19373  dvfsumlem3  19375  plyaddlem1  19595  coeidlem  19619  ppisval  20341  chtdif  20396  ppidif  20401  ppiublem1  20441  ppiub  20443  chtub  20451  lgsdilem2  20570  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem3  20595  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  dchrisumlem2  20639  dchrvmasumiflem1  20650  mulog2sumlem2  20684  logdivbnd  20705  pntlemg  20747  pntlemq  20750  pntlemf  20754  ballotlemsdom  23070  ballotlemsel1i  23071  ballotlemfrceq  23087  ssnnssfz  23277  erdszelem8  23729  eupath2lem3  23903  climuzcnv  24004  axlowdim  24589  fdc  26455  eldioph2lem1  26839  hbt  27334  fmul01lt1lem2  27715  stoweidlem11  27760  stoweidlem26  27775  wallispilem4  27817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator