MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Unicode version

Theorem eluz2b2 10290
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 10289 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10028 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 8910 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 671 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10049 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 518 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10045 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 551 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 180 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 240 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   RRcr 8736   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  eluz2b3  10291  prmind2  12769  nprm  12772  nprmi  12773  isprm6  12788  exprmfct  12789  isprm5  12791  phibndlem  12838  phibnd  12839  pclem  12891  pcprendvds2  12894  pcpre1  12895  pcmpt  12940  pockthlem  12952  prmunb  12961  prmreclem1  12963  4sqlem15  13006  4sqlem16  13007  vdwlem5  13032  vdwlem6  13033  vdwlem8  13035  vdwlem9  13036  vdwlem11  13038  prmlem1a  13108  odcau  14915  sylow3lem6  14943  gexexlem  15144  wilthlem1  20306  wilth  20309  chtge0  20350  isppw  20352  muval1  20371  chtwordi  20394  vma1  20404  fsumvma2  20453  chpval2  20457  chpchtsum  20458  chpub  20459  mersenne  20466  perfect1  20467  perfectlem2  20469  bposlem3  20525  lgslem4  20538  lgsne0  20572  lgsquad2lem2  20598  2sqlem6  20608  2sqblem  20616  chtppilimlem1  20622  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  rpvmasumlem  20636  dchrisum0flblem2  20658  ostthlem2  20777  padicabvf  20780  padicabvcxp  20781  ostth2lem2  20783  ostth2lem3  20784  ostth2lem4  20785  ostth2  20786  ostth3  20787  subfacval3  23720  rmspecsqrnq  26991  rmspecnonsq  26992  rmspecfund  26994  ltrmxnn0  27036  jm2.17a  27047  jm2.17b  27048  jm2.17c  27049  jm2.27c  27100  jm3.1lem1  27110  jm3.1lem2  27111  jm3.1lem3  27112  itgsinexp  27749  wallispilem3  27816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator