MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Unicode version

Theorem eluz2b2 10473
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 10472 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 9016 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10211 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 9089 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 672 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10232 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 519 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10228 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 552 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 181 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 241 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   ` cfv 5387   RRcr 8915   1c1 8917    < clt 9046    <_ cle 9047   NNcn 9925   2c2 9974   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413
This theorem is referenced by:  eluz2b3  10474  prmind2  13010  nprm  13013  nprmi  13014  isprm6  13029  exprmfct  13030  isprm5  13032  phibndlem  13079  phibnd  13080  pclem  13132  pcprendvds2  13135  pcpre1  13136  pcmpt  13181  pockthlem  13193  prmunb  13202  prmreclem1  13204  4sqlem15  13247  4sqlem16  13248  vdwlem5  13273  vdwlem6  13274  vdwlem8  13276  vdwlem9  13277  vdwlem11  13279  prmlem1a  13349  odcau  15158  sylow3lem6  15186  gexexlem  15387  wilthlem1  20711  wilth  20714  chtge0  20755  isppw  20757  muval1  20776  chtwordi  20799  vma1  20809  fsumvma2  20858  chpval2  20862  chpchtsum  20863  chpub  20864  mersenne  20871  perfect1  20872  perfectlem2  20874  bposlem3  20930  lgslem4  20943  lgsne0  20977  lgsquad2lem2  21003  2sqlem6  21013  2sqblem  21021  chtppilimlem1  21027  rplogsumlem1  21038  rplogsumlem2  21039  rpvmasumlem  21041  dchrisum0flblem2  21063  ostthlem2  21182  padicabvf  21185  padicabvcxp  21186  ostth2lem2  21188  ostth2lem3  21189  ostth2lem4  21190  ostth2  21191  ostth3  21192  subfacval3  24647  rmspecsqrnq  26653  rmspecnonsq  26654  rmspecfund  26656  ltrmxnn0  26698  jm2.17a  26709  jm2.17b  26710  jm2.17c  26711  jm2.27c  26762  jm3.1lem1  26772  jm3.1lem2  26773  jm3.1lem3  26774  itgsinexp  27410  wallispilem3  27477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414
  Copyright terms: Public domain W3C validator