MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Structured version   Unicode version

Theorem eluz2b2 10540
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 10539 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 9082 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10278 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 9155 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 672 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10299 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 519 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10295 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 552 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 181 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 241 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   RRcr 8981   1c1 8983    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480
This theorem is referenced by:  eluz2b3  10541  prmind2  13082  nprm  13085  nprmi  13086  isprm6  13101  exprmfct  13102  isprm5  13104  phibndlem  13151  phibnd  13152  pclem  13204  pcprendvds2  13207  pcpre1  13208  pcmpt  13253  pockthlem  13265  prmunb  13274  prmreclem1  13276  4sqlem15  13319  4sqlem16  13320  vdwlem5  13345  vdwlem6  13346  vdwlem8  13348  vdwlem9  13349  vdwlem11  13351  prmlem1a  13421  odcau  15230  sylow3lem6  15258  gexexlem  15459  wilthlem1  20843  wilth  20846  chtge0  20887  isppw  20889  muval1  20908  chtwordi  20931  vma1  20941  fsumvma2  20990  chpval2  20994  chpchtsum  20995  chpub  20996  mersenne  21003  perfect1  21004  perfectlem2  21006  bposlem3  21062  lgslem4  21075  lgsne0  21109  lgsquad2lem2  21135  2sqlem6  21145  2sqblem  21153  chtppilimlem1  21159  rplogsumlem1  21170  rplogsumlem2  21171  rpvmasumlem  21173  dchrisum0flblem2  21195  ostthlem2  21314  padicabvf  21317  padicabvcxp  21318  ostth2lem2  21320  ostth2lem3  21321  ostth2lem4  21322  ostth2  21323  ostth3  21324  subfacval3  24867  rmspecsqrnq  26960  rmspecnonsq  26961  rmspecfund  26963  ltrmxnn0  27005  jm2.17a  27016  jm2.17b  27017  jm2.17c  27018  jm2.27c  27069  jm3.1lem1  27079  jm3.1lem2  27080  jm3.1lem3  27081  itgsinexp  27716  wallispilem3  27783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
  Copyright terms: Public domain W3C validator