MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Unicode version

Theorem eluz2b2 10306
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 10305 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10044 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 8926 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 671 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10065 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 518 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10061 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 551 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 180 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 240 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   RRcr 8752   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  eluz2b3  10307  prmind2  12785  nprm  12788  nprmi  12789  isprm6  12804  exprmfct  12805  isprm5  12807  phibndlem  12854  phibnd  12855  pclem  12907  pcprendvds2  12910  pcpre1  12911  pcmpt  12956  pockthlem  12968  prmunb  12977  prmreclem1  12979  4sqlem15  13022  4sqlem16  13023  vdwlem5  13048  vdwlem6  13049  vdwlem8  13051  vdwlem9  13052  vdwlem11  13054  prmlem1a  13124  odcau  14931  sylow3lem6  14959  gexexlem  15160  wilthlem1  20322  wilth  20325  chtge0  20366  isppw  20368  muval1  20387  chtwordi  20410  vma1  20420  fsumvma2  20469  chpval2  20473  chpchtsum  20474  chpub  20475  mersenne  20482  perfect1  20483  perfectlem2  20485  bposlem3  20541  lgslem4  20554  lgsne0  20588  lgsquad2lem2  20614  2sqlem6  20624  2sqblem  20632  chtppilimlem1  20638  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrisum0flblem2  20674  ostthlem2  20793  padicabvf  20796  padicabvcxp  20797  ostth2lem2  20799  ostth2lem3  20800  ostth2lem4  20801  ostth2  20802  ostth3  20803  subfacval3  23735  rmspecsqrnq  27094  rmspecnonsq  27095  rmspecfund  27097  ltrmxnn0  27139  jm2.17a  27150  jm2.17b  27151  jm2.17c  27152  jm2.27c  27203  jm3.1lem1  27213  jm3.1lem2  27214  jm3.1lem3  27215  itgsinexp  27852  wallispilem3  27919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator