MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzadd Structured version   Unicode version

Theorem eluzadd 10506
Description: Membership in a later set of upper integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzadd  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )

Proof of Theorem eluzadd
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10485 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )
54fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )
65eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) )
73, 6imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) ) )
8 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  +  K
)  =  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
9 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
109fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
118, 10eleq12d 2503 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  <-> 
( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) )
1211imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) ) )
13 0z 10285 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413elimel 3783 . . . . . 6  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1513elimel 3783 . . . . . 6  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1614, 15eluzaddi 10504 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
177, 12, 16dedth2h 3773 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) ) )
1817com12 29 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
191, 18mpand 657 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
2019imp 419 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982    + caddc 8985   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480
This theorem is referenced by:  seqshft2  11341  shftuz  11876  isumshft  12611  vdwlem2  13342  vdwlem8  13348  mulgnndir  14904  efgcpbllemb  15379  plymullem1  20125  coeeulem  20135  ulmshftlem  20297  ulmshft  20298  caushft  26458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481
  Copyright terms: Public domain W3C validator