MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzadd Unicode version

Theorem eluzadd 10446
Description: Membership in a later set of upper integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzadd  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )

Proof of Theorem eluzadd
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10425 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )
54fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )
65eleq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) )
73, 6imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) ) )
8 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  +  K
)  =  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
9 oveq2 6028 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
109fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
118, 10eleq12d 2455 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  <-> 
( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) )
1211imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) ) )
13 0z 10225 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413elimel 3734 . . . . . 6  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1513elimel 3734 . . . . . 6  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1614, 15eluzaddi 10444 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
177, 12, 16dedth2h 3724 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) ) )
1817com12 29 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
191, 18mpand 657 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
2019imp 419 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3682   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923    + caddc 8926   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420
This theorem is referenced by:  seqshft2  11276  shftuz  11811  isumshft  12546  vdwlem2  13277  vdwlem8  13283  mulgnndir  14839  efgcpbllemb  15314  plymullem1  20000  coeeulem  20010  ulmshftlem  20172  ulmshft  20173  caushft  26158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421
  Copyright terms: Public domain W3C validator