MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Unicode version

Theorem eluzel2 10418
Description: Implication of membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5690 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
2 uzf 10416 . . 3  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
32fdmi 5529 . 2  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
41, 3syl6eleq 2470 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ~Pcpw 3735   dom cdm 4811   ` cfv 5387   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413
This theorem is referenced by:  eluz2  10419  uztrn  10427  uzneg  10429  uzss  10431  uz11  10433  eluzadd  10439  uzm1  10441  uzin  10443  uzind4  10459  uzsupss  10493  elfz5  10976  elfzel1  10983  eluzfz1  10989  fzsplit2  11001  fzopth  11014  uzsplit  11041  uzdisj  11042  elfzp12  11049  fzm1  11050  uznfz  11053  fzolb  11068  fzoss2  11086  fzouzdisj  11092  fzen2  11228  seqp1  11258  seqcl  11263  seqfeq2  11266  seqfveq  11267  seqshft2  11269  seqsplit  11276  seqcaopr3  11278  seqf1olem2a  11281  seqf1olem1  11282  seqf1olem2  11283  seqid  11288  seqhomo  11290  seqz  11291  leexp2a  11355  hashfz  11612  fzsdom2  11613  hashfzo  11614  seqcoll  11632  rexanuz2  12073  cau4  12080  clim2ser  12368  clim2ser2  12369  climserle  12376  caurcvg  12390  caucvg  12392  fsumcvg  12426  fsumcvg2  12441  fsumsers  12442  fsumm1  12457  fsum1p  12459  fsumrev2  12485  fsumtscopo  12501  fsumparts  12505  cvgcmp  12515  cvgcmpub  12516  cvgcmpce  12517  isumsplit  12540  pcaddlem  13177  vdwnnlem2  13284  prmlem0  13348  gsumval2a  14702  dvfsumle  19765  dvfsumge  19766  dvfsumabs  19767  coeid3  20019  ulmres  20164  ulmss  20173  chtdif  20801  ppidif  20806  bcmono  20921  inffz  24972  clim2prod  24988  clim2div  24989  prodfrec  24995  ntrivcvgtail  25000  fprodcvg  25028  fprodser  25047  fprodm1  25062  fprodeq0  25071  preduz  25217  axlowdimlem6  25593  mettrifi  26147  jm2.25  26754  jm2.16nn0  26759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-fv 5395  df-ov 6016  df-neg 9219  df-z 10208  df-uz 10414
  Copyright terms: Public domain W3C validator