MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Unicode version

Theorem eluzel2 10251
Description: Implication of membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5570 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  dom  ZZ>= )
2 uzf 10249 . . 3  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
32fdmi 5410 . 2  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
41, 3syl6eleq 2386 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   ~Pcpw 3638   dom cdm 4705   ` cfv 5271   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  eluz2  10252  uztrn  10260  uzneg  10262  uzss  10264  uz11  10266  eluzadd  10272  uzm1  10274  uzin  10276  uzind4  10292  uzsupss  10326  elfz5  10806  elfzel1  10813  eluzfz1  10819  fzsplit2  10831  fzopth  10844  uzsplit  10871  uzdisj  10872  elfzp12  10877  fzm1  10878  uznfz  10881  fzolb  10896  fzoss2  10913  fzouzdisj  10918  fzen2  11047  seqp1  11077  seqcl  11082  seqfeq2  11085  seqfveq  11086  seqshft2  11088  seqsplit  11095  seqcaopr3  11097  seqf1olem2a  11100  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  seqid  11107  seqhomo  11109  seqz  11110  leexp2a  11173  hashfz  11397  fzsdom2  11398  hashfzo  11399  seqcoll  11417  rexanuz2  11849  cau4  11856  clim2ser  12144  clim2ser2  12145  climserle  12152  caurcvg  12165  caucvg  12167  fsumcvg  12201  fsumcvg2  12216  fsumsers  12217  fsumm1  12232  fsum1p  12234  fsumrev2  12260  fsumtscopo  12276  fsumparts  12280  cvgcmp  12290  cvgcmpub  12291  cvgcmpce  12292  isumsplit  12315  pcaddlem  12952  vdwnnlem2  13059  prmlem0  13123  gsumval2a  14475  dvfsumle  19384  dvfsumge  19385  dvfsumabs  19386  coeid3  19638  ulmres  19783  ulmss  19790  chtdif  20412  ppidif  20417  bcmono  20532  inffz  24110  fprodcvg  24153  preduz  24271  axlowdimlem6  24647  dffprod  25422  fprodser  25423  seqzp2  25458  mettrifi  26576  jm2.25  27195  jm2.16nn0  27200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator