MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelz Unicode version

Theorem eluzelz 10254
Description: A member of a set of upper integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzelz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzelz
StepHypRef Expression
1 eluz2 10252 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp2bi 971 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  eluzelre  10255  uztrn  10260  uzneg  10262  uzss  10264  eluzp1l  10268  eluzaddi  10270  eluzsubi  10271  uzm1  10274  uzin  10276  uzp1  10277  peano2uzr  10290  uzaddcl  10291  uzind4  10292  uzwo  10297  uzwoOLD  10298  uz2mulcl  10311  uzsupss  10326  elfz5  10806  elfzel2  10812  elfzelz  10814  eluzfz2  10820  peano2fzr  10824  fzsplit2  10831  fzopth  10844  fzsuc  10851  uzsplit  10871  uzdisj  10872  fzm1  10878  uznfz  10881  elfzo3  10906  fzoss2  10913  fzouzsplit  10917  fzofzp1b  10933  fzosplitsn  10936  om2uzlti  11029  om2uzf1oi  11032  uzrdgxfr  11045  fzen2  11047  seqm1  11079  seqfveq2  11084  seqfeq2  11085  seqshft2  11088  monoord  11092  monoord2  11093  sermono  11094  seqsplit  11095  seqf1olem1  11101  seqf1olem2  11102  seqid  11107  seqz  11110  leexp2a  11173  expnlbnd2  11248  expmulnbnd  11249  bcval5  11346  hashfz  11397  fzsdom2  11398  hashfzo  11399  seqcoll  11417  shftuz  11580  seqshft  11596  rexuz3  11848  r19.2uz  11851  rexuzre  11852  cau4  11856  caubnd2  11857  clim  11984  climrlim2  12037  climshftlem  12064  climshft  12066  climshft2  12072  climaddc1  12124  climmulc2  12126  climsubc1  12127  climsubc2  12128  clim2ser  12144  clim2ser2  12145  iserex  12146  climlec2  12148  climub  12151  isercolllem2  12155  isercoll  12157  isercoll2  12158  climcau  12160  caurcvg2  12166  caucvgb  12168  serf0  12169  iseraltlem1  12170  iseraltlem2  12171  iseralt  12173  sumrblem  12200  fsumcvg  12201  summolem2a  12204  fsumcvg2  12216  fsumm1  12232  fzosump1  12233  fsump1  12235  fsumrev2  12260  fsumtscopo  12276  fsumparts  12280  isumshft  12314  isumsplit  12315  isumrpcl  12318  isumsup2  12321  cvgrat  12355  mertenslem1  12356  dvdsexp  12600  isprm3  12783  nprm  12788  dvdsprm  12794  exprmfct  12805  isprm5  12807  maxprmfct  12808  phibndlem  12854  dfphi2  12858  hashdvds  12859  pclem  12907  pcaddlem  12952  pcfac  12963  expnprm  12966  prmreclem4  12982  vdwlem8  13051  gsumval2a  14475  efgtlen  15051  efgs1b  15061  iscau4  18721  caucfil  18725  iscmet3lem3  18732  iscmet3lem1  18733  iscmet3lem2  18734  lmle  18743  uniioombllem3  18956  mbflimsup  19037  mbfi1fseqlem6  19091  dvfsumle  19384  dvfsumge  19385  dvfsumabs  19386  aaliou3lem1  19738  aaliou3lem2  19739  ulmres  19783  ulmshftlem  19784  ulmshft  19785  ulmcaulem  19787  ulmcau  19788  ulmdvlem1  19793  radcnvlem1  19805  dvradcnv  19813  muval1  20387  chtdif  20412  ppidif  20417  chtub  20467  bcmono  20532  bpos1lem  20537  lgsquad2lem2  20614  2sqlem6  20624  2sqlem8a  20626  2sqlem8  20627  chebbnd1lem1  20634  dchrisumlem2  20655  dchrisum0lem1  20681  ostthlem2  20793  ostth2  20802  fzspl  23046  logblt  23423  supfz  24109  cprodeq2ii  24135  fprodcvg  24153  prodmolem2a  24157  zprod  24160  preduz  24271  axlowdimlem3  24644  axlowdimlem6  24647  axlowdimlem7  24648  axlowdimlem16  24657  axlowdimlem17  24658  axlowdim  24661  nn0prpwlem  26341  fdc  26558  mettrifi  26576  caushft  26580  rmspecsqrnq  27094  rmspecnonsq  27095  rmspecfund  27097  rmxyadd  27109  rmxy1  27110  rmxm1  27122  rmxluc  27124  rmyluc2  27126  jm2.17a  27150  jm2.18  27184  jm2.22  27191  jm2.15nn0  27199  jm2.16nn0  27200  jm2.27a  27201  jm2.27c  27203  jm3.1lem2  27214  jm3.1lem3  27215  jm3.1  27216  expdiophlem1  27217  fmul01  27813  fmul01lt1lem1  27817  fmul01lt1lem2  27818  climsuselem1  27836  climsuse  27837  itgsinexp  27852  constr3trllem3  28398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator