MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelz Unicode version

Theorem eluzelz 10238
Description: A member of a set of upper integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzelz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzelz
StepHypRef Expression
1 eluz2 10236 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp2bi 971 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  eluzelre  10239  uztrn  10244  uzneg  10246  uzss  10248  eluzp1l  10252  eluzaddi  10254  eluzsubi  10255  uzm1  10258  uzin  10260  uzp1  10261  peano2uzr  10274  uzaddcl  10275  uzind4  10276  uzwo  10281  uzwoOLD  10282  uz2mulcl  10295  uzsupss  10310  elfz5  10790  elfzel2  10796  elfzelz  10798  eluzfz2  10804  peano2fzr  10808  fzsplit2  10815  fzopth  10828  fzsuc  10835  uzsplit  10855  uzdisj  10856  fzm1  10862  uznfz  10865  elfzo3  10890  fzoss2  10897  fzouzsplit  10901  fzofzp1b  10917  fzosplitsn  10920  om2uzlti  11013  om2uzf1oi  11016  uzrdgxfr  11029  fzen2  11031  seqm1  11063  seqfveq2  11068  seqfeq2  11069  seqshft2  11072  monoord  11076  monoord2  11077  sermono  11078  seqsplit  11079  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  seqid  11091  seqz  11094  leexp2a  11157  expnlbnd2  11232  expmulnbnd  11233  bcval5  11330  hashfz  11381  fzsdom2  11382  hashfzo  11383  seqcoll  11401  shftuz  11564  seqshft  11580  rexuz3  11832  r19.2uz  11835  rexuzre  11836  cau4  11840  caubnd2  11841  clim  11968  climrlim2  12021  climshftlem  12048  climshft  12050  climshft2  12056  climaddc1  12108  climmulc2  12110  climsubc1  12111  climsubc2  12112  clim2ser  12128  clim2ser2  12129  iserex  12130  climlec2  12132  climub  12135  isercolllem2  12139  isercoll  12141  isercoll2  12142  climcau  12144  caurcvg2  12150  caucvgb  12152  serf0  12153  iseraltlem1  12154  iseraltlem2  12155  iseralt  12157  sumrblem  12184  fsumcvg  12185  summolem2a  12188  fsumcvg2  12200  fsumm1  12216  fzosump1  12217  fsump1  12219  fsumrev2  12244  fsumtscopo  12260  fsumparts  12264  isumshft  12298  isumsplit  12299  isumrpcl  12302  isumsup2  12305  cvgrat  12339  mertenslem1  12340  dvdsexp  12584  isprm3  12767  nprm  12772  dvdsprm  12778  exprmfct  12789  isprm5  12791  maxprmfct  12792  phibndlem  12838  dfphi2  12842  hashdvds  12843  pclem  12891  pcaddlem  12936  pcfac  12947  expnprm  12950  prmreclem4  12966  vdwlem8  13035  gsumval2a  14459  efgtlen  15035  efgs1b  15045  iscau4  18705  caucfil  18709  iscmet3lem3  18716  iscmet3lem1  18717  iscmet3lem2  18718  lmle  18727  uniioombllem3  18940  mbflimsup  19021  mbfi1fseqlem6  19075  dvfsumle  19368  dvfsumge  19369  dvfsumabs  19370  aaliou3lem1  19722  aaliou3lem2  19723  ulmres  19767  ulmshftlem  19768  ulmshft  19769  ulmcaulem  19771  ulmcau  19772  ulmdvlem1  19777  radcnvlem1  19789  dvradcnv  19797  muval1  20371  chtdif  20396  ppidif  20401  chtub  20451  bcmono  20516  bpos1lem  20521  lgsquad2lem2  20598  2sqlem6  20608  2sqlem8a  20610  2sqlem8  20611  chebbnd1lem1  20618  dchrisumlem2  20639  dchrisum0lem1  20665  ostthlem2  20777  ostth2  20786  fzspl  23030  logblt  23408  supfz  24094  preduz  24200  axlowdimlem3  24572  axlowdimlem6  24575  axlowdimlem7  24576  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  axlowdim  24589  nn0prpwlem  26238  fdc  26455  mettrifi  26473  caushft  26477  rmspecsqrnq  26991  rmspecnonsq  26992  rmspecfund  26994  rmxyadd  27006  rmxy1  27007  rmxm1  27019  rmxluc  27021  rmyluc2  27023  jm2.17a  27047  jm2.18  27081  jm2.22  27088  jm2.15nn0  27096  jm2.16nn0  27097  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100  jm3.1lem2  27111  jm3.1lem3  27112  jm3.1  27113  expdiophlem1  27114  fmul01  27710  fmul01lt1lem1  27714  fmul01lt1lem2  27715  climsuselem1  27733  climsuse  27734  itgsinexp  27749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator