MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelz Unicode version

Theorem eluzelz 10421
Description: A member of a set of upper integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzelz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem eluzelz
StepHypRef Expression
1 eluz2 10419 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp2bi 973 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   ` cfv 5387    <_ cle 9047   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413
This theorem is referenced by:  eluzelre  10422  uztrn  10427  uzneg  10429  uzss  10431  eluzp1l  10435  eluzaddi  10437  eluzsubi  10438  uzm1  10441  uzin  10443  uzp1  10444  peano2uzr  10457  uzaddcl  10458  uzind4  10459  uzwo  10464  uzwoOLD  10465  uz2mulcl  10478  uzsupss  10493  elfz5  10976  elfzel2  10982  elfzelz  10984  eluzfz2  10990  peano2fzr  10994  fzsplit2  11001  fzopth  11014  fzsuc  11021  uzsplit  11041  uzdisj  11042  fzm1  11050  uznfz  11053  elfzo3  11078  fzoss2  11086  fzouzsplit  11091  fzofzp1b  11110  fzosplitsn  11115  om2uzlti  11210  om2uzf1oi  11213  uzrdgxfr  11226  fzen2  11228  seqm1  11260  seqfveq2  11265  seqfeq2  11266  seqshft2  11269  monoord  11273  monoord2  11274  sermono  11275  seqsplit  11276  seqf1olem1  11282  seqf1olem2  11283  seqid  11288  seqz  11291  leexp2a  11355  expnlbnd2  11430  expmulnbnd  11431  bcval5  11529  hashfz  11612  fzsdom2  11613  hashfzo  11614  seqcoll  11632  shftuz  11804  seqshft  11820  rexuz3  12072  r19.2uz  12075  rexuzre  12076  cau4  12080  caubnd2  12081  clim  12208  climrlim2  12261  climshftlem  12288  climshft  12290  climshft2  12296  climaddc1  12348  climmulc2  12350  climsubc1  12351  climsubc2  12352  clim2ser  12368  clim2ser2  12369  iserex  12370  climlec2  12372  climub  12375  isercolllem2  12379  isercoll  12381  isercoll2  12382  climcau  12384  caurcvg2  12391  caucvgb  12393  serf0  12394  iseraltlem1  12395  iseraltlem2  12396  iseralt  12398  sumrblem  12425  fsumcvg  12426  summolem2a  12429  fsumcvg2  12441  fsumm1  12457  fzosump1  12458  fsump1  12460  fsumrev2  12485  fsumtscopo  12501  fsumparts  12505  isumshft  12539  isumsplit  12540  isumrpcl  12543  isumsup2  12546  cvgrat  12580  mertenslem1  12581  dvdsexp  12825  isprm3  13008  nprm  13013  dvdsprm  13019  exprmfct  13030  isprm5  13032  maxprmfct  13033  phibndlem  13079  dfphi2  13083  hashdvds  13084  pclem  13132  pcaddlem  13177  pcfac  13188  expnprm  13191  prmreclem4  13207  vdwlem8  13276  gsumval2a  14702  efgtlen  15278  efgs1b  15288  iscau4  19096  caucfil  19100  iscmet3lem3  19107  iscmet3lem1  19108  iscmet3lem2  19109  lmle  19118  uniioombllem3  19337  mbflimsup  19418  mbfi1fseqlem6  19472  dvfsumle  19765  dvfsumge  19766  dvfsumabs  19767  aaliou3lem1  20119  aaliou3lem2  20120  ulmres  20164  ulmshftlem  20165  ulmshft  20166  ulmcaulem  20170  ulmcau  20171  ulmdvlem1  20176  radcnvlem1  20189  dvradcnv  20197  muval1  20776  chtdif  20801  ppidif  20806  chtub  20856  bcmono  20921  bpos1lem  20926  lgsquad2lem2  21003  2sqlem6  21013  2sqlem8a  21015  2sqlem8  21016  chebbnd1lem1  21023  dchrisumlem2  21044  dchrisum0lem1  21070  ostthlem2  21182  ostth2  21191  constr3trllem3  21480  fzspl  23978  logblt  24195  supfz  24971  divcnvlin  24984  clim2div  24989  prodeq2ii  25011  fprodcvg  25028  prodmolem2a  25032  zprod  25035  fprodntriv  25040  fprodser  25047  fprodm1  25062  fprodp1  25064  fprodeq0  25071  preduz  25217  axlowdimlem3  25590  axlowdimlem6  25593  axlowdimlem7  25594  axlowdimlem16  25603  axlowdimlem17  25604  axlowdim  25607  nn0prpwlem  26009  fdc  26133  mettrifi  26147  caushft  26151  rmspecsqrnq  26653  rmspecnonsq  26654  rmspecfund  26656  rmxyadd  26668  rmxy1  26669  rmxm1  26681  rmxluc  26683  rmyluc2  26685  jm2.17a  26709  jm2.18  26743  jm2.22  26750  jm2.15nn0  26758  jm2.16nn0  26759  jm2.27a  26760  jm2.27c  26762  jm3.1lem2  26773  jm3.1lem3  26774  jm3.1  26775  expdiophlem1  26776  fmul01  27371  fmul01lt1lem1  27375  fmul01lt1lem2  27376  climsuselem1  27394  climsuse  27395  itgsinexp  27410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-fv 5395  df-ov 6016  df-neg 9219  df-z 10208  df-uz 10414
  Copyright terms: Public domain W3C validator