MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzfz1 Structured version   Unicode version

Theorem eluzfz1 11069
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10498 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 uzid 10505 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 eluzfz 11059 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
53, 4mpancom 652 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  elfz3  11072  fzn0  11075  fzopth  11094  elfzp12  11131  seqcl  11348  seqfveq  11352  seqshft2  11354  monoord  11358  monoord2  11359  seqcaopr3  11363  seqf1olem2a  11366  seqf1olem2  11368  seqhomo  11375  bcn0  11606  seqcoll  11717  swrd0val  11773  swrdid  11777  splid  11787  spllen  11788  splfv1  11789  splfv2a  11790  splval2  11791  wrdeqcats1  11793  wrdeqs1cat  11794  fsum1p  12544  fsumtscopo  12586  fsumtscopo2  12587  fsumparts  12590  mertenslem2  12667  phicl2  13162  eulerthlem2  13176  4sqlem19  13336  vdwlem1  13354  vdwlem6  13359  vdw  13367  gsumval2  14788  efgsdmi  15369  efgredleme  15380  efgredlemc  15382  efgcpbllemb  15392  frgpuplem  15409  gsumval3  15519  imasdsf1olem  18408  ovoliunlem1  19403  mbfi1fseqlem3  19612  cxpeq  20646  ppiltx  20965  logexprlim  21014  dchrmusum2  21193  dchrvmasum2lem  21195  mudivsum  21229  mulogsum  21231  mulog2sumlem2  21234  spthonepeq  21592  constr3pthlem3  21649  eupath2  21707  konigsberg  21714  ballotlem4  24761  ballotlemic  24769  ballotlem1c  24770  ballotlem1ri  24797  subfacp1lem1  24870  subfacp1lem5  24875  subfacp1lem6  24876  cvmliftlem10  24986  cvmliftlem13  24988  inffz  25205  prodfn0  25227  prodfrec  25228  fprod1p  25296  axlowdimlem13  25898  axlowdim1  25903  axlowdim  25905  fdc  26463  mettrifi  26477  fmul01lt1lem1  27704  stoweidlem17  27756  stoweidlem20  27759  stoweidlem34  27773  ssfz12  28127  swrd0swrdid  28234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-pre-lttri 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-neg 9299  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator