MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzfz1 Unicode version

Theorem eluzfz1 10895
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10327 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 uzid 10334 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
31, 2syl 15 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4 eluzfz 10885 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
53, 4mpancom 650 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874
This theorem is referenced by:  elfz3  10898  fzn0  10901  fzopth  10920  elfzp12  10953  seqcl  11158  seqfveq  11162  seqshft2  11164  monoord  11168  monoord2  11169  seqcaopr3  11173  seqf1olem2a  11176  seqf1olem2  11178  seqhomo  11185  bcn0  11416  seqcoll  11497  swrd0val  11550  swrdid  11554  splid  11564  spllen  11565  splfv1  11566  splfv2a  11567  splval2  11568  wrdeqcats1  11570  wrdeqs1cat  11571  fsum1p  12315  fsumtscopo  12357  fsumtscopo2  12358  fsumparts  12361  mertenslem2  12438  phicl2  12933  eulerthlem2  12947  4sqlem19  13107  vdwlem1  13125  vdwlem6  13130  vdw  13138  gsumval2  14559  efgsdmi  15140  efgredleme  15151  efgredlemc  15153  efgcpbllemb  15163  frgpuplem  15180  gsumval3  15290  imasdsf1olem  18039  ovoliunlem1  18965  mbfi1fseqlem3  19176  cxpeq  20208  ppiltx  20527  logexprlim  20576  dchrmusum2  20755  dchrvmasum2lem  20757  mudivsum  20791  mulogsum  20793  mulog2sumlem2  20796  ballotlem4  24005  ballotlemic  24013  ballotlem1c  24014  ballotlem1ri  24041  subfacp1lem1  24114  subfacp1lem5  24119  subfacp1lem6  24120  cvmliftlem10  24229  cvmliftlem13  24231  eupath2  24308  konigsberg  24315  inffz  24501  prodfn0  24523  prodfrec  24524  fprod1p  24592  axlowdimlem13  25141  axlowdim1  25146  axlowdim  25148  fdc  25779  mettrifi  25797  fmul01lt1lem1  27037  stoweidlem17  27089  stoweidlem20  27092  stoweidlem34  27106  constr3pthlem3  27781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-pre-lttri 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-neg 9130  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875
  Copyright terms: Public domain W3C validator