MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzfz2 Unicode version

Theorem eluzfz2 10997
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10428 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2 uzid 10432 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4 eluzfz 10986 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
53, 4mpdan 650 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975
This theorem is referenced by:  eluzfz2b  10998  fzopth  11021  fzsuc  11028  fseq1p1m1  11052  fzm1  11057  fzneuz  11058  fzoend  11114  uzindi  11247  seqcl2  11268  seqfveq2  11272  seqshft2  11276  monoord  11280  monoord2  11281  seqsplit  11283  seqcaopr3  11285  seqf1olem2a  11288  seqf1olem1  11289  seqf1olem2  11290  seqid2  11296  seqhomo  11297  seqcoll  11639  seqcoll2  11640  swrdid  11699  splid  11709  spllen  11710  splval2  11713  wrdeqcats1  11715  wrdeqs1cat  11716  summolem2a  12436  fsumm1  12464  fsumtscopo  12508  fsumtscopo2  12509  fsumparts  12512  sadadd  12906  sadass  12910  smuval2  12921  vdwlem6  13281  efgredleme  15302  efgredlemc  15304  efgcpbllemb  15314  frgpuplem  15331  iscmet3lem1  19115  iscmet3lem2  19116  voliunlem1  19311  volsup  19317  mbfi1fseqlem3  19476  wilthlem2  20719  wilthlem3  20720  chtub  20863  dchrisum0flb  21071  pntpbnd1  21147  pntlemf  21166  constr3pthlem3  21492  eupap1  21546  konigsberg  21557  ballotlemfc0  24529  ballotlemfcc  24530  ballotlemfrci  24564  cvmliftlem10  24760  supfz  24978  prodfn0  25001  prodfrec  25002  prodmolem2a  25039  fprodm1  25069  volsupnfl  25956  sdclem2  26137  fdc  26140  mettrifi  26154  fmul01lt1lem2  27383  stoweidlem3  27420  stoweidlem11  27428  stoweidlem17  27434  stoweidlem34  27451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-pre-lttri 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-neg 9226  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator