MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzfz2 Structured version   Unicode version

Theorem eluzfz2 11057
Description: Membership in a finite set of sequential integers - special case. (Contributed by NM, 13-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eluzfz2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem eluzfz2
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10488 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2 uzid 10492 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
31, 2syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4 eluzfz 11046 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
53, 4mpdan 650 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035
This theorem is referenced by:  eluzfz2b  11058  fzopth  11081  fzsuc  11088  fseq1p1m1  11114  fzm1  11119  fzneuz  11120  fzoend  11179  uzindi  11312  seqcl2  11333  seqfveq2  11337  seqshft2  11341  monoord  11345  monoord2  11346  seqsplit  11348  seqcaopr3  11350  seqf1olem2a  11353  seqf1olem1  11354  seqf1olem2  11355  seqid2  11361  seqhomo  11362  seqcoll  11704  seqcoll2  11705  swrdid  11764  splid  11774  spllen  11775  splval2  11778  wrdeqcats1  11780  wrdeqs1cat  11781  summolem2a  12501  fsumm1  12529  fsumtscopo  12573  fsumtscopo2  12574  fsumparts  12577  sadadd  12971  sadass  12975  smuval2  12986  vdwlem6  13346  efgredleme  15367  efgredlemc  15369  efgcpbllemb  15379  frgpuplem  15396  iscmet3lem1  19236  iscmet3lem2  19237  voliunlem1  19436  volsup  19442  mbfi1fseqlem3  19601  wilthlem2  20844  wilthlem3  20845  chtub  20988  dchrisum0flb  21196  pntpbnd1  21272  pntlemf  21291  spthonepeq  21579  constr3pthlem3  21636  eupap1  21690  konigsberg  21701  ballotlemfc0  24742  ballotlemfcc  24743  ballotlemfrci  24777  cvmliftlem10  24973  supfz  25191  prodfn0  25214  prodfrec  25215  prodmolem2a  25252  fprodm1  25282  volsupnfl  26241  sdclem2  26437  fdc  26440  mettrifi  26454  fmul01lt1lem2  27682  stoweidlem3  27719  stoweidlem11  27727  stoweidlem17  27733  stoweidlem34  27750  ssfz12  28088  elfzubelfz  28100  swrdccatin12lem3  28178  swrdccatin12lem4  28179  swrdccatin12  28180  swrdccat3b  28185  2cshw1lem2  28215  2cshw2lem1  28218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-neg 9286  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator