MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Unicode version

Theorem eluzle 10462
Description: Implication of membership in a set of upper integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 10458 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
21simp3bi 974 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421    <_ cle 9085   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452
This theorem is referenced by:  uztrn  10466  uzneg  10468  uzss  10470  uz11  10472  eluzp1l  10474  uzm1  10480  uzin  10482  uzind4  10498  uzwo  10503  uzwoOLD  10504  uzinfmi  10519  uzsupss  10532  elfz5  11015  elfzle1  11024  elfzle2  11025  elfzle3  11027  elfz2nn0  11046  uzsplit  11081  uzdisj  11082  uznfz  11093  fzouzdisj  11132  expmulnbnd  11474  seqcoll  11675  rexuzre  12119  rlimclim1  12302  isercoll  12424  iseralt  12441  o1fsum  12555  mertenslem1  12624  efcllem  12643  rpnnen2lem9  12785  smuval2  12957  smupvallem  12958  hashdvds  13127  pcmpt2  13225  pcfaclem  13230  pcfac  13231  vdwlem6  13317  ramtlecl  13331  prmlem1  13393  prmlem2  13405  znfld  16804  lmnn  19177  mbflimsup  19519  mbfi1fseqlem6  19573  dvfsumge  19867  plyco0  20072  coeeulem  20104  radcnvlem2  20291  log2tlbnd  20746  chtub  20957  chpval2  20963  chpchtsum  20964  bcmax  21023  bpos1lem  21027  bpos1  21028  bposlem3  21031  bposlem4  21032  bposlem5  21033  bposlem6  21034  lgslem1  21041  lgsdirprm  21074  lgseisen  21098  m1lgs  21107  dchrisumlema  21143  dchrisumlem2  21145  dchrisum0lem1  21171  constr3trllem3  21600  minvecolem3  22339  minvecolem4  22343  rnlogblem  24360  lgamgulmlem4  24777  lgamcvg2  24800  subfacval3  24836  climuzcnv  25069  fprodeq0  25260  axlowdimlem3  25795  axlowdimlem6  25798  axlowdimlem7  25799  axlowdimlem16  25808  axlowdimlem17  25809  fdc  26347  jm2.24nn  26922  jm2.23  26965  expdiophlem1  26990  fmul01lt1lem1  27589  climsuselem1  27608  climsuse  27609  stoweidlem11  27635  stirlinglem11  27708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-neg 9258  df-z 10247  df-uz 10453
  Copyright terms: Public domain W3C validator