MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzp1p1 Unicode version

Theorem eluzp1p1 10253
Description: Membership in the next set of upper integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1p1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )

Proof of Theorem eluzp1p1
StepHypRef Expression
1 peano2z 10060 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
213ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
3 peano2z 10060 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
433ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
5 zre 10028 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 10028 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
8 leadd1 9242 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
97, 8mp3an3 1266 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
105, 6, 9syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
1110biimp3a 1281 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) )
122, 4, 113jca 1132 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  ( N  +  1 ) ) )
13 eluz2 10236 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
14 eluz2 10236 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
1512, 13, 143imtr4i 257 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  uzp1  10261  fzp1elp1  10839  seqcl2  11064  seqfveq2  11068  seqf1olem2  11086  seqid2  11092  seqcoll  11401  serf0  12153  efcllem  12359  prmind2  12769  pockthlem  12952  pockthg  12953  prmunb  12961  prmreclem4  12966  dvradcnv  19797  rplogsumlem1  20633  rplogsumlem2  20634  dchrisumlem2  20639  dchrisum0flb  20659  pntlemq  20750  pntlemr  20751  pntlemf  20754  subfacp1lem5  23715  axlowdimlem17  24586  seqzp2  25355  fdc  26455  mettrifi  26473  expdiophlem1  27114
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator