MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzp1p1 Unicode version

Theorem eluzp1p1 10269
Description: Membership in the next set of upper integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1p1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )

Proof of Theorem eluzp1p1
StepHypRef Expression
1 peano2z 10076 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
213ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
3 peano2z 10076 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
433ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
5 zre 10044 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 10044 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
8 leadd1 9258 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
97, 8mp3an3 1266 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
105, 6, 9syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
1110biimp3a 1281 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) )
122, 4, 113jca 1132 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  ( N  +  1 ) ) )
13 eluz2 10252 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
14 eluz2 10252 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
1512, 13, 143imtr4i 257 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  uzp1  10277  fzp1elp1  10855  seqcl2  11080  seqfveq2  11084  seqf1olem2  11102  seqid2  11108  seqcoll  11417  serf0  12169  efcllem  12375  prmind2  12785  pockthlem  12968  pockthg  12969  prmunb  12977  prmreclem4  12982  dvradcnv  19813  rplogsumlem1  20649  rplogsumlem2  20650  dchrisumlem2  20655  dchrisum0flb  20675  pntlemq  20766  pntlemr  20767  pntlemf  20770  subfacp1lem5  23730  axlowdimlem17  24658  seqzp2  25458  fdc  26558  mettrifi  26576  expdiophlem1  27217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator