Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eluzrabdioph Structured version   Unicode version

Theorem eluzrabdioph 26857
Description: Diophantine set builder for membership in a fixed set of upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eluzrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable groups:    t, N    t, M
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem eluzrabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 26852 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
2 eluz 10491 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
32ex 424 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) ) )
43ralimdv 2777 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( A  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) ) )
54imp 419 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
61, 5sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
7 rabbi 2878 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  M  <_  A )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
86, 7sylib 189 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
983adant1 975 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
10 ovex 6098 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
11 mzpconstmpt 26788 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
1210, 11mpan 652 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
13 lerabdioph 26856 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  M  <_  A }  e.  (Dioph `  N
) )
1412, 13syl3an2 1218 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  M  <_  A }  e.  (Dioph `  N
) )
159, 14eqeltrd 2509 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   1c1 8983    <_ cle 9113   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035  mzPolycmzp 26770  Diophcdioph 26804
This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  26858  rmydioph  27076  expdiophlem2  27084
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-mzpcl 26771  df-mzp 26772  df-dioph 26805
  Copyright terms: Public domain W3C validator