Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eluzrabdioph Unicode version

Theorem eluzrabdioph 26558
Description: Diophantine set builder for membership in a fixed set of upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
eluzrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Distinct variable groups:    t, N    t, M
Allowed substitution hint:    A( t)

Proof of Theorem eluzrabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 26553 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) A  e.  ZZ )
2 eluz 10432 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
32ex 424 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) ) )
43ralimdv 2729 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) ) ( A  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) ) )
54imp 419 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  A. t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) ) A  e.  ZZ )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
61, 5sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  M  <_  A ) )
7 rabbi 2830 . . . 4  |-  ( A. t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) ) ( A  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  M  <_  A )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
86, 7sylib 189 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
983adant1 975 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  M  <_  A } )
10 ovex 6046 . . . 4  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
11 mzpconstmpt 26489 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  _V  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
1210, 11mpan 652 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )
13 lerabdioph 26557 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( t  e.  ( ZZ  ^m  ( 1 ... N ) ) 
|->  M )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) )  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  M  <_  A }  e.  (Dioph `  N
) )
1412, 13syl3an2 1218 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  M  <_  A }  e.  (Dioph `  N
) )
159, 14eqeltrd 2462 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  (
t  e.  ( ZZ 
^m  ( 1 ... N ) )  |->  A )  e.  (mzPoly `  ( 1 ... N
) ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  A  e.  (
ZZ>= `  M ) }  e.  (Dioph `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   {crab 2654   _Vcvv 2900   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   1c1 8925    <_ cle 9055   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976  mzPolycmzp 26471  Diophcdioph 26505
This theorem is referenced by:  elnnrabdioph  26559  rmydioph  26777  expdiophlem2  26785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-hash 11547  df-mzpcl 26472  df-mzp 26473  df-dioph 26506
  Copyright terms: Public domain W3C validator