Theorem elxp 3208

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 3190	. . 3 |- (B X. C) = {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)}
2	1	eleq2i 1541	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)})
3		elopab 2817	. 2 |- (A e. {<.x, y>. | (x e. B /\ y e. C)} <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
4	2, 3	bitr 173	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415  {copab 2671   X. cxp 3174

This theorem is referenced by:  elxp2 3209  hbxp 3210  opelxp1 3211  opelxp 3220  ralxp 3224  elxp3 3230  elvv 3234  xpss 3236  xp0r 3245  0nelxp 3246  elxp4 3459  elxp5 3460  fnoprval 4023  2ndconst 4103  xpsnen 4441  xpcomen 4445  xpassen 4447  aceq5lem1 4745  aceq5lem4 4748  elreal 5262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain