Theorem elxp2 3209

Description: Membership in a cross product.

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- (A e. (B X. C) <-> E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>.)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1653	. . . 4 |- (E.y e. C (x e. B /\ A = <.x, y>.) <-> E.y(y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)))
2		r19.42v 1767	. . . 4 |- (E.y e. C (x e. B /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.))
3		anass 441	. . . . . 6 |- (((x e. B /\ y e. C) /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. B /\ (y e. C /\ A = <.x, y>.)))
4		ancom 437	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> ((x e. B /\ y e. C) /\ A = <.x, y>.))
5		an12 486	. . . . . 6 |- ((y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> (x e. B /\ (y e. C /\ A = <.x, y>.)))
6	3, 4, 5	3bitr4r 184	. . . . 5 |- ((y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
7	6	exbii 1053	. . . 4 |- (E.y(y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
8	1, 2, 7	3bitr3 181	. . 3 |- ((x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.) <-> E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
9	8	exbii 1053	. 2 |- (E.x(x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
10		df-rex 1653	. 2 |- (E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>. <-> E.x(x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.))
11		elxp 3208	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
12	9, 10, 11	3bitr4r 184	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>.)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  E.wrex 1649  <.cop 2415   X. cxp 3174

This theorem is referenced by:  xpdom2 4448  xpnnen 7500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-opab 2672  df-xp 3190

Copyright terms: Public domain