MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxp2 Unicode version

Theorem elxp2 4829
Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elxp2
StepHypRef Expression
1 df-rex 2648 . . . 4  |-  ( E. y  e.  C  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )  <->  E. y
( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )
) )
2 r19.42v 2798 . . . 4  |-  ( E. y  e.  C  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )  <->  ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
) )
3 an13 775 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y >. )
)  <->  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
43exbii 1589 . . . 4  |-  ( E. y ( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  /\  A  =  <. x ,  y
>. ) )  <->  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
51, 2, 43bitr3i 267 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y
>. )  <->  E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
65exbii 1589 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
)  <->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
7 df-rex 2648 . 2  |-  ( E. x  e.  B  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y
>. 
<->  E. x ( x  e.  B  /\  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y
>. ) )
8 elxp 4828 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
96, 7, 83bitr4ri 270 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  C  A  =  <. x ,  y >.
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643   <.cop 3753    X. cxp 4809
This theorem is referenced by:  opelxp  4841  xpiundi  4865  xpiundir  4866  ssrel2  4899  xpdom2  7132  tskxpss  8573  nqereu  8732  elreal  8932  xpnnenOLD  12729  efgmnvl  15266  frgpuptinv  15323  frgpup3lem  15329  ucnima  18225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-rex 2648  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-opab 4201  df-xp 4817
  Copyright terms: Public domain W3C validator