Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxp4 Structured version   Unicode version

Theorem elxp4 5359
 Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 5360, elxp6 6380, and elxp7 6381. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp4

Proof of Theorem elxp4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4897 . 2
2 sneq 3827 . . . . . . . . . . . 12
32rneqd 5099 . . . . . . . . . . 11
43unieqd 4028 . . . . . . . . . 10
5 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
6 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
75, 6op2nda 5356 . . . . . . . . . 10
84, 7syl6req 2487 . . . . . . . . 9
98pm4.71ri 616 . . . . . . . 8
109anbi1i 678 . . . . . . 7
11 anass 632 . . . . . . 7
1210, 11bitri 242 . . . . . 6
1312exbii 1593 . . . . 5
14 snex 4407 . . . . . . . 8
1514rnex 5135 . . . . . . 7
1615uniex 4707 . . . . . 6
17 opeq2 3987 . . . . . . . 8
1817eqeq2d 2449 . . . . . . 7
19 eleq1 2498 . . . . . . . 8
2019anbi2d 686 . . . . . . 7
2118, 20anbi12d 693 . . . . . 6
2216, 21ceqsexv 2993 . . . . 5
2313, 22bitri 242 . . . 4
24 sneq 3827 . . . . . . . . 9
2524dmeqd 5074 . . . . . . . 8
2625unieqd 4028 . . . . . . 7
275, 16op1sta 5353 . . . . . . 7
2826, 27syl6req 2487 . . . . . 6
2928pm4.71ri 616 . . . . 5
3029anbi1i 678 . . . 4
31 anass 632 . . . 4
3223, 30, 313bitri 264 . . 3
3332exbii 1593 . 2
3414dmex 5134 . . . 4
3534uniex 4707 . . 3
36 opeq1 3986 . . . . 5
3736eqeq2d 2449 . . . 4
38 eleq1 2498 . . . . 5
3938anbi1d 687 . . . 4
4037, 39anbi12d 693 . . 3
4135, 40ceqsexv 2993 . 2
421, 33, 413bitri 264 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  csn 3816  cop 3819  cuni 4017   cxp 4878   cdm 4880   crn 4881 This theorem is referenced by:  elxp6  6380  xpdom2  7205 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891
 Copyright terms: Public domain W3C validator