Theorem elxp4 3459

Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 3460, elxp6 4108, and elxp7 4109.

Assertion

Ref	Expression
elxp4	|- (A e. (B X. C) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Proof of Theorem elxp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3208	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		sneq 2421	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = <.x, y>. -> {A} = {<.x, y>.})
3	2	rneqd 3347	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. -> ran { A} = ran {<.x, y>.})
4	3	unieqd 2516	. . . . . . . . . 10 |- (A = <.x, y>. -> U.ran { A} = U.ran {<.x, y>.})
5		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6		visset 1816	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
7	5, 6	op2nda 3458	. . . . . . . . . 10 |- U.ran {<.x, y>.} = y
8	4, 7	syl6req 1527	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, y>. -> y = U.ran { A})
9	8	pm4.71ri 640	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, y>. <-> (y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.))
10	9	anbi1i 483	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> ((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)))
11		anass 441	. . . . . . 7 |- (((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
13	12	exbii 1053	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
14		snex 2756	. . . . . . . 8 |- {A} e. V
15	14	rnex 3367	. . . . . . 7 |- ran { A} e. V
16	15	uniex 2876	. . . . . 6 |- U.ran { A} e. V
17		opeq2 2492	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> <.x, y>. = <.x, U.ran { A}>.)
18	17	eqeq2d 1489	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> (A = <.x, y>. <-> A = <.x, U.ran { A}>.))
19		eleq1 1537	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> (y e. C <-> U.ran { A} e. C))
20	19	anbi2d 618	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> ((x e. B /\ y e. C) <-> (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
21	18, 20	anbi12d 630	. . . . . 6 |- (y = U.ran { A} -> ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
22	16, 21	ceqsexv 1838	. . . . 5 |- (E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
23	13, 22	bitr 173	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
24		sneq 2421	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> {A} = {<.x, U.ran { A}>.})
25	24	dmeqd 3319	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> dom { A} = dom {<.x, U.ran { A}>.})
26	25	unieqd 2516	. . . . . . 7 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> U.dom { A} = U.dom {<.x, U.ran { A}>.})
27	5	op1sta 3454	. . . . . . 7 |- U.dom {<.x, U.ran { A}>.} = x
28	26, 27	syl6req 1527	. . . . . 6 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> x = U.dom { A})
29	28	pm4.71ri 640	. . . . 5 |- (A = <.x, U.ran { A}>. <-> (x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.))
30	29	anbi1i 483	. . . 4 |- ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> ((x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
31		anass 441	. . . 4 |- (((x = U.dom { A} /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
32	23, 30, 31	3bitr 177	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
33	32	exbii 1053	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.x(x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
34	14	dmex 3366	. . . 4 |- dom { A} e. V
35	34	uniex 2876	. . 3 |- U.dom { A} e. V
36		opeq1 2491	. . . . 5 |- (x = U.dom { A} -> <.x, U.ran { A}>. = <.U.dom { A}, U.ran { A}>.)
37	36	eqeq2d 1489	. . . 4 |- (x = U.dom { A} -> (A = <.x, U.ran { A}>. <-> A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>.))
38		eleq1 1537	. . . . 5 |- (x = U.dom { A} -> (x e. B <-> U.dom { A} e. B))
39	38	anbi1d 619	. . . 4 |- (x = U.dom { A} -> ((x e. B /\ U.ran { A} e. C) <-> (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))
40	37, 39	anbi12d 630	. . 3 |- (x = U.dom { A} -> ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C))))
41	35, 40	ceqsexv 1838	. 2 |- (E.x(x = U.dom { A} /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))
42	1, 33, 41	3bitr 177	1 |- (A e. (B X. C) <-> (A = <.U.dom { A}, U.ran { A}>. /\ (U.dom { A} e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {csn 2413  <.cop 2415  U.cuni 2507   X. cxp 3174  dom cdm 3176  ran crn 3177

This theorem is referenced by:  elxp6 4108  xpdom2 4448  xpmapenlem3 4504  xpmapenlem5 4506

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195

Copyright terms: Public domain