Theorem elxp5 3454

Description: Membership in a cross product requiring no quantifiers or dummy variables. Provides a slightly shorter version of elxp4 3453 when the double intersection does not create class existence problems (caused by int0 2547).

Assertion

Ref	Expression
elxp5	|- (A e. (B X. C) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Proof of Theorem elxp5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 3202	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
2		sneq 2417	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = <.x, y>. -> {A} = {<.x, y>.})
3	2	rneqd 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. -> ran { A} = ran {<.x, y>.})
4	3	unieqd 2512	. . . . . . . . . 10 |- (A = <.x, y>. -> U.ran { A} = U.ran {<.x, y>.})
5		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
6		visset 1813	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
7	5, 6	op2nda 3452	. . . . . . . . . 10 |- U.ran {<.x, y>.} = y
8	4, 7	syl6req 1524	. . . . . . . . 9 |- (A = <.x, y>. -> y = U.ran { A})
9	8	pm4.71ri 638	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, y>. <-> (y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.))
10	9	anbi1i 481	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> ((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)))
11		anass 439	. . . . . . 7 |- (((y = U.ran { A} /\ A = <.x, y>.) /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
13	12	exbii 1051	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))))
14		snex 2750	. . . . . . . 8 |- {A} e. V
15	14	rnex 3361	. . . . . . 7 |- ran { A} e. V
16	15	uniex 2870	. . . . . 6 |- U.ran { A} e. V
17		opeq2 2488	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> <.x, y>. = <.x, U.ran { A}>.)
18	17	eqeq2d 1486	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> (A = <.x, y>. <-> A = <.x, U.ran { A}>.))
19		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- (y = U.ran { A} -> (y e. C <-> U.ran { A} e. C))
20	19	anbi2d 616	. . . . . . 7 |- (y = U.ran { A} -> ((x e. B /\ y e. C) <-> (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
21	18, 20	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (y = U.ran { A} -> ((A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
22	16, 21	ceqsexv 1835	. . . . 5 |- (E.y(y = U.ran { A} /\ (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C))) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
23	13, 22	bitr 173	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
24		inteq 2536	. . . . . . . 8 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> |^|A = |^|<.x, U.ran { A}>.)
25	24	inteqd 2538	. . . . . . 7 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> |^||^|A = |^||^|<.x, U.ran { A}>.)
26	5	op1stb 2913	. . . . . . 7 |- |^||^|<.x, U.ran { A}>. = x
27	25, 26	syl6req 1524	. . . . . 6 |- (A = <.x, U.ran { A}>. -> x = |^||^|A)
28	27	pm4.71ri 638	. . . . 5 |- (A = <.x, U.ran { A}>. <-> (x = |^||^|A /\ A = <.x, U.ran { A}>.))
29	28	anbi1i 481	. . . 4 |- ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> ((x = |^||^|A /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)))
30		anass 439	. . . 4 |- (((x = |^||^|A /\ A = <.x, U.ran { A}>.) /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
31	23, 29, 30	3bitr 177	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> (x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
32	31	exbii 1051	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)) <-> E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))))
33		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (x = |^||^|A -> (x e. V <-> |^||^|A e. V))
34	5, 33	mpbii 193	. . . . 5 |- (x = |^||^|A -> |^||^|A e. V)
35	34	adantr 389	. . . 4 |- ((x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) -> |^||^|A e. V)
36	35	19.23aiv 1295	. . 3 |- (E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) -> |^||^|A e. V)
37		elisset 1817	. . . 4 |- (|^||^|A e. B -> |^||^|A e. V)
38	37	ad2antrl 406	. . 3 |- ((A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)) -> |^||^|A e. V)
39		opeq1 2487	. . . . . 6 |- (x = |^||^|A -> <.x, U.ran { A}>. = <.|^||^|A, U.ran { A}>.)
40	39	eqeq2d 1486	. . . . 5 |- (x = |^||^|A -> (A = <.x, U.ran { A}>. <-> A = <.|^||^|A, U.ran { A}>.))
41		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (x = |^||^|A -> (x e. B <-> |^||^|A e. B))
42	41	anbi1d 617	. . . . 5 |- (x = |^||^|A -> ((x e. B /\ U.ran { A} e. C) <-> (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))
43	40, 42	anbi12d 628	. . . 4 |- (x = |^||^|A -> ((A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C)) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C))))
44	43	ceqsexgv 1888	. . 3 |- (|^||^|A e. V -> (E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C))))
45	36, 38, 44	pm5.21nii 679	. 2 |- (E.x(x = |^||^|A /\ (A = <.x, U.ran { A}>. /\ (x e. B /\ U.ran { A} e. C))) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))
46	1, 32, 45	3bitr 177	1 |- (A e. (B X. C) <-> (A = <.|^||^|A, U.ran { A}>. /\ (|^||^|A e. B /\ U.ran { A} e. C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  {csn 2409  <.cop 2411  U.cuni 2503  |^|cint 2533   X. cxp 3168  ran crn 3171

This theorem is referenced by:  mapunen 4502  xpnnen 7499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189

Copyright terms: Public domain