MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxr Unicode version

Theorem elxr 10641
Description: Membership in the set of extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
elxr  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )

Proof of Theorem elxr
StepHypRef Expression
1 df-xr 9050 . . 3  |-  RR*  =  ( RR  u.  {  +oo , 
-oo } )
21eleq2i 2444 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  A  e.  ( RR  u.  {  +oo ,  -oo } ) )
3 elun 3424 . 2  |-  ( A  e.  ( RR  u.  { 
+oo ,  -oo } )  <-> 
( A  e.  RR  \/  A  e.  {  +oo , 
-oo } ) )
4 pnfxr 10638 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
54elexi 2901 . . . . 5  |-  +oo  e.  _V
6 mnfxr 10639 . . . . . 6  |-  -oo  e.  RR*
76elexi 2901 . . . . 5  |-  -oo  e.  _V
85, 7elpr2 3769 . . . 4  |-  ( A  e.  {  +oo ,  -oo }  <->  ( A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )
98orbi2i 506 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  e.  {  +oo ,  -oo } )  <->  ( A  e.  RR  \/  ( A  =  +oo  \/  A  =  -oo ) ) )
10 3orass 939 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  =  +oo  \/  A  =  -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  ( A  =  +oo  \/  A  =  -oo ) ) )
119, 10bitr4i 244 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  e.  {  +oo ,  -oo } )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )
122, 3, 113bitri 263 1  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3254   {cpr 3751   RRcr 8915    +oocpnf 9043    -oocmnf 9044   RR*cxr 9045
This theorem is referenced by:  xrnemnf  10643  xrnepnf  10644  xrltnr  10645  xrltnsym  10655  xrlttri  10657  xrlttr  10658  xrrebnd  10681  qbtwnxr  10711  xnegcl  10724  xnegneg  10725  xltnegi  10727  xaddf  10735  xnegid  10747  xaddcom  10749  xaddid1  10750  xnegdi  10752  xleadd1a  10757  xlt2add  10764  xsubge0  10765  xmullem  10768  xmulid1  10783  xmulgt0  10787  xmulasslem3  10790  xlemul1a  10792  xadddilem  10798  xadddi2  10801  xrsupsslem  10810  xrinfmsslem  10811  xrub  10815  isxmet2d  18259  blssioo  18690  ioombl1  19316  ismbf2d  19393  itg2seq  19494  xaddeq0  24023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-pow 4311  ax-un 4634  ax-cnex 8972
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-rex 2648  df-v 2894  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-uni 3951  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050
  Copyright terms: Public domain W3C validator