MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxrge0 Unicode version

Theorem elxrge0 10968
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 938 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_  +oo ) )
2 0xr 9091 . . 3  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 10673 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
4 elicc1 10920 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )
) )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )
)
6 pnfge 10687 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  <_  +oo )
87pm4.71i 614 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_  +oo ) )
91, 5, 83bitr4i 269 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   0cc0 8950    +oocpnf 9077   RR*cxr 9079    <_ cle 9081   [,]cicc 10879
This theorem is referenced by:  ge0xaddcl  10971  ge0xmulcl  10972  xrge0subm  16698  psmetxrge0  18301  isxmet2d  18314  prdsdsf  18354  prdsxmetlem  18355  comet  18500  stdbdxmet  18502  xrge0gsumle  18821  xrge0tsms  18822  metdsf  18835  metds0  18837  metdstri  18838  metdsre  18840  metdseq0  18841  metdscnlem  18842  metnrmlem1a  18845  metnrmlem1  18846  xrhmeo  18928  lebnumlem1  18943  xrge0f  19580  itg2const2  19590  itg2uba  19592  itg2splitlem  19597  itg2split  19598  itg2monolem1  19599  itg2monolem2  19600  itg2monolem3  19601  itg2mono  19602  itg2i1fseqle  19603  itg2i1fseq3  19606  itg2addlem  19607  itg2gt0  19609  itg2cnlem2  19611  itg2cn  19612  iblss  19653  itgle  19658  itgeqa  19662  ibladdlem  19668  iblabs  19677  iblabsr  19678  iblmulc2  19679  itgsplit  19684  bddmulibl  19687  xrge00  24165  xrge0tsmsd  24180  esummono  24407  gsumesum  24408  esumsn  24413  esumpmono  24426  hashf2  24431  measge0  24518  measle0  24519  measssd  24526  measunl  24527  prob01  24628  dstrvprob  24686  itg2addnclem  26159  itg2addnc  26162  itg2gt0cn  26163  ibladdnclem  26164  iblabsnc  26172  iblmulc2nc  26173  bddiblnc  26178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-icc 10883
  Copyright terms: Public domain W3C validator