MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxrge0 Unicode version

Theorem elxrge0 10747
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 936 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_  +oo ) )
2 0xr 8878 . . 3  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 10455 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
4 elicc1 10700 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )
) )
52, 3, 4mp2an 653 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )
)
6 pnfge 10469 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  <_  +oo )
87pm4.71i 613 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_  +oo ) )
91, 5, 83bitr4i 268 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,]cicc 10659
This theorem is referenced by:  ge0xaddcl  10750  ge0xmulcl  10751  xrge0subm  16412  isxmet2d  17892  prdsdsf  17931  prdsxmetlem  17932  comet  18059  stdbdxmet  18061  xrge0gsumle  18338  xrge0tsms  18339  metdsf  18352  metds0  18354  metdstri  18355  metdsre  18357  metdseq0  18358  metdscnlem  18359  metnrmlem1a  18362  metnrmlem1  18363  xrhmeo  18444  lebnumlem1  18459  xrge0f  19086  itg2const2  19096  itg2uba  19098  itg2splitlem  19103  itg2split  19104  itg2monolem1  19105  itg2monolem2  19106  itg2monolem3  19107  itg2mono  19108  itg2i1fseqle  19109  itg2i1fseq3  19112  itg2addlem  19113  itg2gt0  19115  itg2cnlem2  19117  itg2cn  19118  iblss  19159  itgle  19164  itgeqa  19168  ibladdlem  19174  iblabs  19183  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgsplit  19190  bddmulibl  19193  xrge00  23311  xrge0tsmsd  23382  esumsn  23437  esumpmono  23447  hashf2  23452  measssd  23543  prob01  23616  dstrvprob  23672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663
  Copyright terms: Public domain W3C validator