MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elxrge0 Unicode version

Theorem elxrge0 10839
Description: Elementhood in the set of nonnegative extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elxrge0  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elxrge0
StepHypRef Expression
1 df-3an 936 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_  +oo ) )
2 0xr 8968 . . 3  |-  0  e.  RR*
3 pnfxr 10547 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
4 elicc1 10792 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )
) )
52, 3, 4mp2an 653 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <_  +oo )
)
6 pnfge 10561 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
76adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  <_  +oo )
87pm4.71i 613 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  A  <_  +oo ) )
91, 5, 83bitr4i 268 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710   class class class wbr 4104  (class class class)co 5945   0cc0 8827    +oocpnf 8954   RR*cxr 8956    <_ cle 8958   [,]cicc 10751
This theorem is referenced by:  ge0xaddcl  10842  ge0xmulcl  10843  xrge0subm  16518  isxmet2d  17994  prdsdsf  18033  prdsxmetlem  18034  comet  18161  stdbdxmet  18163  xrge0gsumle  18441  xrge0tsms  18442  metdsf  18455  metds0  18457  metdstri  18458  metdsre  18460  metdseq0  18461  metdscnlem  18462  metnrmlem1a  18465  metnrmlem1  18466  xrhmeo  18548  lebnumlem1  18563  xrge0f  19190  itg2const2  19200  itg2uba  19202  itg2splitlem  19207  itg2split  19208  itg2monolem1  19209  itg2monolem2  19210  itg2monolem3  19211  itg2mono  19212  itg2i1fseqle  19213  itg2i1fseq3  19216  itg2addlem  19217  itg2gt0  19219  itg2cnlem2  19221  itg2cn  19222  iblss  19263  itgle  19268  itgeqa  19272  ibladdlem  19278  iblabs  19287  iblabsr  19288  iblmulc2  19289  itgsplit  19294  bddmulibl  19297  xrge00  23400  xrge0tsmsd  23415  esummono  23716  gsumesum  23717  esumsn  23722  esumpmono  23735  hashf2  23740  measle0  23826  measssd  23833  measunl  23834  prob01  23920  dstrvprob  23978  itg2gt0cn  25495  ibladdnclem  25496  iblabsnc  25504  iblmulc2nc  25505  bddiblnc  25510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-icc 10755
  Copyright terms: Public domain W3C validator