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Theorem elz2 10040
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Distinct variable group:    x, y, N

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 10038 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
2 nn0p1nn 10003 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN )
4 1nn 9757 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN )
6 recn 8827 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
8 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 pncan 9057 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
107, 8, 9sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1110eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
12 rspceov 5893 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  1  e.  NN  /\  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
144a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN )
156adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
16 negsub 9095 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
178, 15, 16sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
18 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  -> 
-u N  e.  NN0 )
19 nnnn0addcl 9995 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
204, 18, 19sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
2117, 20eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  N
)  e.  NN )
22 nncan 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
238, 15, 22sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
2423eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )
25 rspceov 5893 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 1  -  N
)  e.  NN  /\  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2614, 21, 24, 25syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2713, 26jaodan 760 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
28 nnre 9753 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
29 nnre 9753 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
30 resubcl 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
3128, 29, 30syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
32 letric 8921 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
3329, 28, 32syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
34 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
35 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
36 nn0sub 10014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
3734, 35, 36syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
38 nn0sub 10014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
3935, 34, 38syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
40 nncn 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
41 nncn 9754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
42 negsubdi2 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4340, 41, 42syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4443eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u ( x  -  y )  e. 
NN0 
<->  ( y  -  x
)  e.  NN0 )
)
4539, 44bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
4637, 45orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  <_  x  \/  x  <_  y )  <->  ( ( x  -  y )  e. 
NN0  \/  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) ) )
4733, 46mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
4831, 47jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
49 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
50 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  NN0  <->  ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
51 negeq 9044 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  -u N  =  -u ( x  -  y ) )
5251eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( -u N  e.  NN0  <->  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
5350, 52orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
5449, 53anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  ( (
x  -  y )  e.  RR  /\  (
( x  -  y
)  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) ) )
5548, 54syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) ) )
5655rexlimivv 2672 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
5727, 56impbii 180 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
581, 57bitri 240 1  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  dfz2  10041  zaddcl  10059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
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