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Theorem elz2 10303
Description: Membership in the set of integers. Commonly used in constructions of the integers as equivalence classes under subtraction of the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elz2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Distinct variable group:    x, y, N

Proof of Theorem elz2
StepHypRef Expression
1 elznn0 10301 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
2 nn0p1nn 10264 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN )
4 1nn 10016 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN )
6 recn 9085 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
76adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
8 ax-1cn 9053 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
9 pncan 9316 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
107, 8, 9sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1110eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
12 rspceov 6119 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN  /\  1  e.  NN  /\  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
144a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN )
156adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
16 negsub 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
178, 15, 16sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  =  ( 1  -  N ) )
18 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  -> 
-u N  e.  NN0 )
19 nnnn0addcl 10256 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
204, 18, 19sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  -u N )  e.  NN )
2117, 20eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  N
)  e.  NN )
22 nncan 9335 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
238, 15, 22sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( 1  -  (
1  -  N ) )  =  N )
2423eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )
25 rspceov 6119 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( 1  -  N
)  e.  NN  /\  N  =  ( 1  -  ( 1  -  N ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2614, 21, 24, 25syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
2713, 26jaodan 762 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
28 nnre 10012 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
29 nnre 10012 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
30 resubcl 9370 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
3128, 29, 30syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
32 letric 9179 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
3329, 28, 32syl2anr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  \/  x  <_  y ) )
34 nnnn0 10233 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
35 nnnn0 10233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
36 nn0sub 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
3734, 35, 36syl2anr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  -  y )  e.  NN0 ) )
38 nn0sub 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
3935, 34, 38syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  ( y  -  x )  e.  NN0 ) )
40 nncn 10013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
41 nncn 10013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
42 negsubdi2 9365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4340, 41, 42syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  -> 
-u ( x  -  y )  =  ( y  -  x ) )
4443eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u ( x  -  y )  e. 
NN0 
<->  ( y  -  x
)  e.  NN0 )
)
4539, 44bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
4637, 45orbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  <_  x  \/  x  <_  y )  <->  ( ( x  -  y )  e. 
NN0  \/  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) ) )
4733, 46mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
)
4831, 47jca 520 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( x  -  y )  e.  RR  /\  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
49 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  <->  ( x  -  y )  e.  RR ) )
50 eleq1 2498 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  NN0  <->  ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
51 negeq 9303 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  -u N  =  -u ( x  -  y ) )
5251eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( -u N  e.  NN0  <->  -u ( x  -  y )  e. 
NN0 ) )
5350, 52orbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( x  -  y )  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) )
5449, 53anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( N  =  ( x  -  y )  ->  (
( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  ( (
x  -  y )  e.  RR  /\  (
( x  -  y
)  e.  NN0  \/  -u ( x  -  y
)  e.  NN0 )
) ) )
5548, 54syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) ) )
5655rexlimivv 2837 . . 3  |-  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y )  ->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
5727, 56impbii 182 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
581, 57bitri 242 1  |-  ( N  e.  ZZ  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  N  =  ( x  -  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297   NNcn 10005   NN0cn0 10226   ZZcz 10287
This theorem is referenced by:  dfz2  10304  zaddcl  10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288
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