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Theorem emcllem2 20837
Description: Lemma for emcl 20843. 
F is increasing, and  G is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N )  /\  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Distinct variable group:    m, n, N
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10014 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
21nnrecred 10047 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
31nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR+ )
43relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
5 nnrp 10623 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
65relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
74, 6resubcld 9467 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) )  e.  RR )
8 fzfid 11314 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9 elfznn 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... N )  ->  m  e.  NN )
109adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  m  e.  NN )
1110nnrecred 10047 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
128, 11fsumrecl 12530 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  RR )
133rpreccld 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR+ )
1413rpge0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )
15 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
1615div1i 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
17 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
18 ltaddrp 10646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
1  <  ( 1  +  N ) )
1917, 5, 18sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( 1  +  N
) )
20 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
21 addcom 9254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 1  +  N
)  =  ( N  +  1 ) )
2215, 20, 21sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  +  N )  =  ( N  + 
1 ) )
2319, 22breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( N  +  1 ) )
2416, 23syl5eqbr 4247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  1 )  <  ( N  + 
1 ) )
251nnred 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
261nngt0d 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
27 0lt1 9552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
28 ltrec1 9899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( N  +  1 ) ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  <  ( N  +  1 )  <-> 
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 ) )
2917, 27, 28mpanl12 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  <  ( N  +  1 )  <-> 
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 ) )
3025, 26, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  1
)  <  ( N  +  1 )  <->  ( 1  /  ( N  + 
1 ) )  <  1 ) )
3124, 30mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <  1 )
322, 14, 31eflegeo 12724 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( 1  /  (
1  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
3325recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
34 nnne0 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
351nnne0d 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
3620, 33, 34, 35recdivd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
3715a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3833, 37, 33, 35divsubdird 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  /  ( N  + 
1 ) )  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
39 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
4020, 15, 39sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
4140oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  -  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  ( N  / 
( N  +  1 ) ) )
4233, 35dividd 9790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  ( N  +  1 ) )  =  1 )
4342oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  ( N  +  1 ) )  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
4438, 41, 433eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( N  / 
( N  +  1 ) ) )
4544oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  / 
( N  /  ( N  +  1 ) ) ) )
463, 5rpdivcld 10667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  RR+ )
4746reeflogd 20521 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
4836, 45, 473eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  -  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )  =  ( exp `  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
4932, 48breqtrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( exp `  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( exp `  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
503, 5relogdivd 20523 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
5150, 7eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )
52 efle 12721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( 1  / 
( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  <->  ( exp `  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
532, 51, 52syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  ( ( N  + 
1 )  /  N
) )  <->  ( exp `  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) ) )
5449, 53mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( log `  (
( N  +  1 )  /  N ) ) )
5554, 50breqtrd 4238 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) )
562, 7, 12, 55leadd2dd 9643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  +  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N
) ) ) )
57 id 21 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
58 nnuz 10523 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5957, 58syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
60 elfznn 11082 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
6160adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6261nnrecred 10047 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
6362recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
64 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) )
6559, 63, 64fsump1 12542 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  / 
( N  +  1 ) ) ) )
664recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( N  + 
1 ) )  e.  CC )
6712recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  e.  CC )
686recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  CC )
6966, 67, 68addsub12d 9436 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( N  +  1 ) )  -  ( log `  N ) ) ) )
7056, 65, 693brtr4d 4244 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <_  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) ) )
71 fzfid 11314 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
7271, 62fsumrecl 12530 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )
7312, 6resubcld 9467 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) )  e.  RR )
7472, 4, 73lesubadd2d 9627 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  N ) )  <->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <_  (
( log `  ( N  +  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) ) ) )
7570, 74mpbird 225 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
76 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
7776sumeq1d 12497 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m ) )
78 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  n )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
7977, 78oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
80 emcl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
81 ovex 6108 . . . . 5  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
8279, 80, 81fvmpt 5808 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
831, 82syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
84 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
8584sumeq1d 12497 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... n
) ( 1  /  m )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m ) )
86 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  n )  =  ( log `  N
) )
8785, 86oveq12d 6101 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N
) ) )
88 ovex 6108 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) )  e.  _V
8987, 80, 88fvmpt 5808 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  N ) ) )
9075, 83, 893brtr4d 4244 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N ) )
91 peano2nn 10014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
921, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
9392nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR+ )
9493relogcld 20520 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
9594, 4resubcld 9467 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
96 logdifbnd 20834 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
1  /  ( N  +  1 ) ) )
973, 96syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( 1  /  ( N  +  1 ) ) )
9895, 2, 12, 97leadd2dd 9643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( 1  /  ( N  +  1 ) ) ) )
9994recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
10067, 66, 99subadd23d 9435 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  +  ( ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
10198, 100, 653brtr4d 4244 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m ) )
10212, 4resubcld 9467 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
103 leaddsub 9506 . . . . 5  |-  ( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  e.  RR  /\ 
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  e.  RR )  -> 
( ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  +  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  <-> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_ 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ) ) )
104102, 94, 72, 103syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) )  +  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  <->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
105101, 104mpbid 203 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
106 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
107106fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  ( N  +  1 ) ) )
10885, 107oveq12d 6101 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) ) )
109 emcl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
110 ovex 6108 . . . 4  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V
111108, 109, 110fvmpt 5808 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... N
) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( N  + 
1 ) ) ) )
112 oveq1 6090 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
113112fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( log `  ( n  + 
1 ) )  =  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
11477, 113oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
n  +  1 ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
115 ovex 6108 . . . . 5  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  _V
116114, 109, 115fvmpt 5808 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1171, 116syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  ( N  +  1 ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
118105, 111, 1173brtr4d 4244 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) )
11990, 118jca 520 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( F `  ( N  +  1 ) )  <_  ( F `  N )  /\  ( G `  N )  <_  ( G `  ( N  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045   sum_csu 12481   expce 12666   logclog 20454
This theorem is referenced by:  emcllem6  20841  emcllem7  20842
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
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