MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem4 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem4 20868
Description: Lemma for emcl 20872. The difference between series  F and  G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem4  |-  H  ~~>  0
Distinct variable groups:    m, H    m, n
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem4
StepHypRef Expression
1 nnuz 10552 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10342 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 9079 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 divcnv 12664 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
7 emcl.3 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
8 nnex 10037 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
98mptex 5995 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  e. 
_V
107, 9eqeltri 2512 . . . 4  |-  H  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  H  e.  _V )
12 oveq2 6118 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  m ) )
13 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
14 ovex 6135 . . . . . 6  |-  ( 1  /  m )  e. 
_V
1512, 13, 14fvmpt 5835 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
1615adantl 454 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
17 nnrecre 10067 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1817adantl 454 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2516 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  e.  RR )
2012oveq2d 6126 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
2120fveq2d 5761 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
22 fvex 5771 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  e.  _V
2321, 7, 22fvmpt 5835 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
2423adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
25 1rp 10647 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
26 nnrp 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
2726adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2827rpreccld 10689 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR+ )
29 rpaddcl 10663 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  m )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3025, 28, 29sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10679 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR )
32 1re 9121 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
33 ltaddrp 10675 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  m
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3432, 28, 33sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3531, 34rplogcld 20555 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR+ )
3624, 35eqeltrd 2516 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR+ )
3736rpred 10679 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
3830relogcld 20549 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR )
39 efgt1p 12747 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  m )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  m ) )  < 
( exp `  (
1  /  m ) ) )
4028, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) ) )
4118rpefcld 12737 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
42 logltb 20525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+  /\  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) )  <->  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4330, 41, 42syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  ( 1  /  m
) )  <->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4440, 43mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( log `  ( exp `  ( 1  /  m ) ) ) )
4518relogefd 20554 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) )  =  ( 1  /  m ) )
4644, 45breqtrd 4261 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( 1  /  m
) )
4738, 18, 46ltled 9252 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  <_ 
( 1  /  m
) )
4847, 24, 163brtr4d 4267 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  m ) )
4936rpge0d 10683 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( H `  m
) )
501, 3, 6, 11, 19, 37, 48, 49climsqz2 12466 . 2  |-  (  T. 
->  H  ~~>  0 )
5150trud 1333 1  |-  H  ~~>  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322    / cdiv 9708   NNcn 10031   ZZcz 10313   RR+crp 10643   ...cfz 11074    ~~> cli 12309   sum_csu 12510   expce 12695   logclog 20483
This theorem is referenced by:  emcllem6  20870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-pi 12706  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785  df-log 20485
  Copyright terms: Public domain W3C validator