MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem4 Unicode version

Theorem emcllem4 20798
Description: Lemma for emcl 20802. The difference between series  F and  G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem4  |-  H  ~~>  0
Distinct variable groups:    m, H    m, n
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem4
StepHypRef Expression
1 nnuz 10485 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10275 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 9012 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 divcnv 12596 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
7 emcl.3 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
8 nnex 9970 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
98mptex 5933 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  e. 
_V
107, 9eqeltri 2482 . . . 4  |-  H  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  H  e.  _V )
12 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  m ) )
13 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
14 ovex 6073 . . . . . 6  |-  ( 1  /  m )  e. 
_V
1512, 13, 14fvmpt 5773 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
17 nnrecre 10000 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1817adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2486 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  e.  RR )
2012oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
2120fveq2d 5699 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
22 fvex 5709 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  e.  _V
2321, 7, 22fvmpt 5773 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
2423adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
25 1rp 10580 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
26 nnrp 10585 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
2726adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2827rpreccld 10622 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR+ )
29 rpaddcl 10596 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  m )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3025, 28, 29sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10612 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR )
32 1re 9054 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
33 ltaddrp 10608 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  m
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3432, 28, 33sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3531, 34rplogcld 20485 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR+ )
3624, 35eqeltrd 2486 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR+ )
3736rpred 10612 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
3830relogcld 20479 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR )
39 efgt1p 12679 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  m )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  m ) )  < 
( exp `  (
1  /  m ) ) )
4028, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) ) )
4118rpefcld 12669 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
42 logltb 20455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+  /\  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) )  <->  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4330, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  ( 1  /  m
) )  <->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4440, 43mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( log `  ( exp `  ( 1  /  m ) ) ) )
4518relogefd 20484 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) )  =  ( 1  /  m ) )
4644, 45breqtrd 4204 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( 1  /  m
) )
4738, 18, 46ltled 9185 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  <_ 
( 1  /  m
) )
4847, 24, 163brtr4d 4210 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  m ) )
4936rpge0d 10616 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( H `  m
) )
501, 3, 6, 11, 19, 37, 48, 49climsqz2 12398 . 2  |-  (  T. 
->  H  ~~>  0 )
5150trud 1329 1  |-  H  ~~>  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   ZZcz 10246   RR+crp 10576   ...cfz 11007    ~~> cli 12241   sum_csu 12442   expce 12627   logclog 20413
This theorem is referenced by:  emcllem6  20800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415
  Copyright terms: Public domain W3C validator