MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem4 Unicode version

Theorem emcllem4 20404
Description: Lemma for emcl 20408. The difference between series  F and  G tends to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem4  |-  H  ~~>  0
Distinct variable groups:    m, H    m, n
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem4
StepHypRef Expression
1 nnuz 10355 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10145 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 8885 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 divcnv 12409 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5mp1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
7 emcl.3 . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
8 nnex 9842 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
98mptex 5832 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  e. 
_V
107, 9eqeltri 2428 . . . 4  |-  H  e. 
_V
1110a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  H  e.  _V )
12 oveq2 5953 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  m ) )
13 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
14 ovex 5970 . . . . . 6  |-  ( 1  /  m )  e. 
_V
1512, 13, 14fvmpt 5685 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  =  ( 1  /  m ) )
17 nnrecre 9872 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1817adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2432 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  m
)  e.  RR )
2012oveq2d 5961 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )
2120fveq2d 5612 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
22 fvex 5622 . . . . . . 7  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  e.  _V
2321, 7, 22fvmpt 5685 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
2423adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) ) )
25 1rp 10450 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
26 nnrp 10455 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
2726adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2827rpreccld 10492 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  /  m )  e.  RR+ )
29 rpaddcl 10466 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  m )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3025, 28, 29sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10482 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR )
32 1re 8927 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
33 ltaddrp 10478 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  m
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3432, 28, 33sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )
3531, 34rplogcld 20091 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR+ )
3624, 35eqeltrd 2432 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR+ )
3736rpred 10482 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
3830relogcld 20085 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  e.  RR )
39 efgt1p 12492 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  m )  e.  RR+  ->  ( 1  +  ( 1  /  m ) )  < 
( exp `  (
1  /  m ) ) )
4028, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) ) )
4118rpefcld 12482 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )
42 logltb 20061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  e.  RR+  /\  ( exp `  ( 1  /  m ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  (
1  /  m ) )  <->  ( log `  (
1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4330, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( 1  /  m ) )  <  ( exp `  ( 1  /  m
) )  <->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m ) ) )  <  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) ) ) )
4440, 43mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( log `  ( exp `  ( 1  /  m ) ) ) )
4518relogefd 20090 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( exp `  (
1  /  m ) ) )  =  ( 1  /  m ) )
4644, 45breqtrd 4128 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  < 
( 1  /  m
) )
4738, 18, 46ltled 9057 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  m
) ) )  <_ 
( 1  /  m
) )
4847, 24, 163brtr4d 4134 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `  m )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  m ) )
4936rpge0d 10486 . . 3  |-  ( (  T.  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( H `  m
) )
501, 3, 6, 11, 19, 37, 48, 49climsqz2 12211 . 2  |-  (  T. 
->  H  ~~>  0 )
5150trud 1323 1  |-  H  ~~>  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   ZZcz 10116   RR+crp 10446   ...cfz 10874    ~~> cli 12054   sum_csu 12255   expce 12440   logclog 20019
This theorem is referenced by:  emcllem6  20406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021
  Copyright terms: Public domain W3C validator