MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Unicode version

Theorem emcllem6 20294
Description: Lemma for emcl 20296. By the previous lemmas,  F and  G must approach a common limit, which is  gamma by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem6  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
54oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )
65fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
74, 6oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) ) ) )
8 emcl.4 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
9 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
12 nnrecre 9782 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1312adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
14 1rp 10358 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
15 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1615rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
18 rpaddcl 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1914, 17, 18sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
2019relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR )
2113, 20resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  RR )
2221recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  CC )
23 emcl.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
24 emcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
25 emcl.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2623, 24, 25, 8emcllem5 20293 . . . . . . . . 9  |-  G  =  seq  1 (  +  ,  T )
2723, 24emcllem1 20289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
2827simpri 448 . . . . . . . . . . 11  |-  G : NN
--> RR
2928a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  G : NN --> RR )
3023, 24emcllem2 20290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
3130simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
3231adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
33 1nn 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3427simpli 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F : NN
--> RR
3534ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 1 )  e.  RR
3728ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3934ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4136a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
42 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )  e.  _V
436, 25, 42fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4523, 24, 25emcllem3 20291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4744, 46eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
48 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
49 readdcl 8820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 1  /  k
) )  e.  RR )
5048, 13, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR )
51 ltaddrp 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) )
5248, 17, 51sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )
5350, 52rplogcld 19980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR+ )
5447, 53eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR+ )
5554rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
5640, 38subge0d 9362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
5755, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5958breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  1 )  <_ 
( F `  1
) ) )
60 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6160breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6362breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
6436leidi 9307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 1 )  <_ 
( F `  1
)
6530simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
66 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6734ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6936a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
70 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7168, 39, 69, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7265, 71mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  1 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 ) ) )
7359, 61, 63, 61, 64, 72nnind 9764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7473adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7538, 40, 41, 57, 74letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )
7675ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F ` 
1 ) )
77 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( G `  k
)  <_  x  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7877ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  ( A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7978rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x
)
8036, 76, 79sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x )
811, 3, 29, 32, 80climsup 12143 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8226, 81syl5eqbrr 4057 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
83 climrel 11966 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~>
8483releldmi 4915 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  ->  seq  1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
8582, 84syl 15 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
861, 3, 11, 22, 85isumclim2 12221 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
87 df-em 20287 . . . . . 6  |-  gamma  =  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
8886, 26, 873brtr4g 4055 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  ~~>  gamma )
89 nnex 9752 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
9089mptex 5746 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n ) ) )  e.  _V
9123, 90eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
9291a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
9323, 24, 25emcllem4 20292 . . . . . 6  |-  H  ~~>  0
9493a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  H  ~~>  0 )
9538recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9640, 38resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
9746, 96eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
9897recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
9946oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( H `
 k ) )  =  ( ( G `
 k )  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
10040recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10195, 100pncan3d 9160 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
10299, 101eqtr2d 2316 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( ( G `
 k )  +  ( H `  k
) ) )
1031, 3, 88, 92, 94, 95, 98, 102climadd 12105 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( gamma  +  0 ) )
10488trud 1314 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
105 climcl 11973 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> 
gamma  ->  gamma  e.  CC )
106104, 105ax-mp 8 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
107106addid1i 8999 . . . 4  |-  ( gamma  +  0 )  = 
gamma
108103, 107syl6breq 4062 . . 3  |-  (  T. 
->  F  ~~>  gamma )
109108trud 1314 . 2  |-  F  ~~>  gamma
110109, 104pm3.2i 441 1  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   logclog 19912   gammacem 20286
This theorem is referenced by:  emcllem7  20295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-em 20287
  Copyright terms: Public domain W3C validator