MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Structured version   Unicode version

Theorem emcllem6 20839
Description: Lemma for emcl 20841. By the previous lemmas,  F and  G must approach a common limit, which is  gamma by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem6  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10521 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10311 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
54oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )
65fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
74, 6oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) ) ) )
8 emcl.4 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
9 ovex 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
1110adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
12 nnrecre 10036 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1312adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
14 1rp 10616 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
15 nnrp 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1615rpreccld 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
18 rpaddcl 10632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1914, 17, 18sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
2019relogcld 20518 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR )
2113, 20resubcld 9465 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  RR )
2221recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  CC )
23 emcl.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
24 emcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
25 emcl.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2623, 24, 25, 8emcllem5 20838 . . . . . . . . 9  |-  G  =  seq  1 (  +  ,  T )
2723, 24emcllem1 20834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
2827simpri 449 . . . . . . . . . . 11  |-  G : NN
--> RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  G : NN --> RR )
3023, 24emcllem2 20835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
3130simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
3231adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
33 1nn 10011 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3427simpli 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F : NN
--> RR
3534ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 1 )  e.  RR
3728ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3837adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3934ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4136a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
42 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )  e.  _V
436, 25, 42fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4523, 24, 25emcllem3 20836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4645adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4744, 46eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
48 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
49 readdcl 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 1  /  k
) )  e.  RR )
5048, 13, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR )
51 ltaddrp 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) )
5248, 17, 51sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )
5350, 52rplogcld 20524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR+ )
5447, 53eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR+ )
5554rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
5640, 38subge0d 9616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
5755, 56mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
58 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5958breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  1 )  <_ 
( F `  1
) ) )
60 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6160breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
62 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6362breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
6436leidi 9561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 1 )  <_ 
( F `  1
)
6530simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
66 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6734ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6936a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
70 letr 9167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7168, 39, 69, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7265, 71mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  1 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 ) ) )
7359, 61, 63, 61, 64, 72nnind 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7538, 40, 41, 57, 74letrd 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )
7675ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F ` 
1 ) )
77 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( G `  k
)  <_  x  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7877ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  ( A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7978rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x
)
8036, 76, 79sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x )
811, 3, 29, 32, 80climsup 12463 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8226, 81syl5eqbrr 4246 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
83 climrel 12286 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~>
8483releldmi 5106 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  ->  seq  1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
8582, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
861, 3, 11, 22, 85isumclim2 12542 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
87 df-em 20831 . . . . . 6  |-  gamma  =  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
8886, 26, 873brtr4g 4244 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  ~~>  gamma )
89 nnex 10006 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
9089mptex 5966 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n ) ) )  e.  _V
9123, 90eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
9323, 24, 25emcllem4 20837 . . . . . 6  |-  H  ~~>  0
9493a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  H  ~~>  0 )
9538recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9640, 38resubcld 9465 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
9746, 96eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
9897recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
9946oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( H `
 k ) )  =  ( ( G `
 k )  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
10040recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10195, 100pncan3d 9414 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
10299, 101eqtr2d 2469 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( ( G `
 k )  +  ( H `  k
) ) )
1031, 3, 88, 92, 94, 95, 98, 102climadd 12425 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( gamma  +  0 ) )
10488trud 1332 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
105 climcl 12293 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> 
gamma  ->  gamma  e.  CC )
106104, 105ax-mp 8 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
107106addid1i 9253 . . . 4  |-  ( gamma  +  0 )  = 
gamma
108103, 107syl6breq 4251 . . 3  |-  (  T. 
->  F  ~~>  gamma )
109108trud 1332 . 2  |-  F  ~~>  gamma
110109, 104pm3.2i 442 1  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282   RR+crp 10612   ...cfz 11043    seq cseq 11323    ~~> cli 12278   sum_csu 12479   logclog 20452   gammacem 20830
This theorem is referenced by:  emcllem7  20840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-em 20831
  Copyright terms: Public domain W3C validator