MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem6 Unicode version

Theorem emcllem6 20310
Description: Lemma for emcl 20312. By the previous lemmas,  F and  G must approach a common limit, which is  gamma by definition. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
emcl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
emcl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
emcl.4  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
emcllem6  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Distinct variable groups:    m, H    m, n, T
Allowed substitution hints:    F( m, n)    G( m, n)    H( n)

Proof of Theorem emcllem6
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
54oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
1  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )
65fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
74, 6oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) ) ) )
8 emcl.4 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  n )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n
) ) ) ) )
9 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( T `  k )  =  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
12 nnrecre 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1312adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
14 1rp 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
15 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
1615rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
18 rpaddcl 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
1  /  k )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
1914, 17, 18sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR+ )
2019relogcld 19990 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR )
2113, 20resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  RR )
2221recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )  e.  CC )
23 emcl.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  n ) ) )
24 emcl.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( n  +  1 ) ) ) )
25 emcl.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  n ) ) ) )
2623, 24, 25, 8emcllem5 20309 . . . . . . . . 9  |-  G  =  seq  1 (  +  ,  T )
2723, 24emcllem1 20305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> RR  /\  G : NN --> RR )
2827simpri 448 . . . . . . . . . . 11  |-  G : NN
--> RR
2928a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  G : NN --> RR )
3023, 24emcllem2 20306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
3130simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
3231adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( G `  (
k  +  1 ) ) )
33 1nn 9773 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3427simpli 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F : NN
--> RR
3534ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 1 )  e.  RR
3728ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
3934ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
4136a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
42 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )  e.  _V
436, 25, 42fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( log `  (
1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
4523, 24, 25emcllem3 20307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `
 k )  -  ( G `  k ) ) )
4744, 46eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
48 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
49 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( 1  /  k
) )  e.  RR )
5048, 13, 49sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  k ) )  e.  RR )
51 ltaddrp 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) )
5248, 17, 51sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  <  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) )
5350, 52rplogcld 19996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k
) ) )  e.  RR+ )
5447, 53eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR+ )
5554rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) )
5640, 38subge0d 9378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) )  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  k )
) )
5755, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
58 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5958breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  1 )  <_ 
( F `  1
) ) )
60 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
6160breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
6362breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  ( F `  1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
6436leidi 9323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 1 )  <_ 
( F `  1
)
6530simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k ) )
66 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
6734ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6936a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  1 )  e.  RR )
70 letr 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( F `  1 )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7168, 39, 69, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( F `  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 )
) )
7265, 71mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  <_  ( F `  1 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( F `  1 ) ) )
7359, 61, 63, 61, 64, 72nnind 9780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7473adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( F `  1
) )
7538, 40, 41, 57, 74letrd 8989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )
7675ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F ` 
1 ) )
77 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  (
( G `  k
)  <_  x  <->  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7877ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( F ` 
1 )  ->  ( A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x  <->  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1 )
) )
7978rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  1
)  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  ( F `  1
) )  ->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x
)
8036, 76, 79sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  E. x  e.  RR  A. k  e.  NN  ( G `  k )  <_  x )
811, 3, 29, 32, 80climsup 12159 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  G  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
8226, 81syl5eqbrr 4073 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  ) )
83 climrel 11982 . . . . . . . . 9  |-  Rel  ~~>
8483releldmi 4931 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sup ( ran  G ,  RR ,  <  )  ->  seq  1
(  +  ,  T
)  e.  dom  ~~>  )
8582, 84syl 15 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  e. 
dom 
~~>  )
861, 3, 11, 22, 85isumclim2 12237 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  T )  ~~>  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  k )  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  / 
k ) ) ) ) )
87 df-em 20303 . . . . . 6  |-  gamma  =  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  k
)  -  ( log `  ( 1  +  ( 1  /  k ) ) ) )
8886, 26, 873brtr4g 4071 . . . . 5  |-  (  T. 
->  G  ~~>  gamma )
89 nnex 9768 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
9089mptex 5762 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  m )  -  ( log `  n ) ) )  e.  _V
9123, 90eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
9291a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
9323, 24, 25emcllem4 20308 . . . . . 6  |-  H  ~~>  0
9493a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  H  ~~>  0 )
9538recnd 8877 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
9640, 38resubcld 9227 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( G `
 k ) )  e.  RR )
9746, 96eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
9897recnd 8877 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
9946oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( H `
 k ) )  =  ( ( G `
 k )  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k )
) ) )
10040recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10195, 100pncan3d 9176 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  ( ( F `  k )  -  ( G `  k ) ) )  =  ( F `  k ) )
10299, 101eqtr2d 2329 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( ( G `
 k )  +  ( H `  k
) ) )
1031, 3, 88, 92, 94, 95, 98, 102climadd 12121 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( gamma  +  0 ) )
10488trud 1314 . . . . . 6  |-  G  ~~>  gamma
105 climcl 11989 . . . . . 6  |-  ( G  ~~> 
gamma  ->  gamma  e.  CC )
106104, 105ax-mp 8 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
107106addid1i 9015 . . . 4  |-  ( gamma  +  0 )  = 
gamma
108103, 107syl6breq 4078 . . 3  |-  (  T. 
->  F  ~~>  gamma )
109108trud 1314 . 2  |-  F  ~~>  gamma
110109, 104pm3.2i 441 1  |-  ( F  ~~> 
gamma  /\  G  ~~>  gamma )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   logclog 19928   gammacem 20302
This theorem is referenced by:  emcllem7  20311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-em 20303
  Copyright terms: Public domain W3C validator